2 уравнения с параметър

[v1rusman]

зад.1 Да се намерят стойостите на параметъра [tex]a[/tex], за които неравенството
[tex]-5+5a+(sinx)^2 +a(3-cosx)^2>0[/tex]
е изпълнено за всяко [tex]x[/tex].

зад.2 Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които системата
[tex](1) ay^2-(a+2)y +a+1=0[/tex]
[tex](2) y=(x^4-4x^2+3)\sqrt{(1-|x|)}[/tex]
има решение.

[mkmarinov]

1)
[tex]sin^2x+9a-6acosx+a.cos^2x+5a-5>0[/tex]
[tex](a-1)cos^2x-6acosx+14a-4>0[/tex]
[tex]cosx=u \in [-1;1][/tex] =>
[tex](a-1)u^2-6au+14a-4>0, V u \in [-1;1][/tex]

[v1rusman]

Първата и аз правя същото и стигнах до отговора, но за втората ?

[mkmarinov]

От второто уравнение определи как трябва да се изменя у, че да има решения за х (получавам че е между 0 и 3). След това разположение на корените в първото.

[mkmarinov]

Ето и малко по-подробно решение на втората:
[tex]y=f(x)=(x^4-4x^2+3)\sqrt{1-|x|}=(3-x^2)(1-x^2)\sqrt{1-|x|}[/tex]. От ДМ: [tex]|x| \le 1 => x^2 \le 1[/tex]. y е произведение на 3 намаляващи и положителни функции на [tex]|x|[/tex] => y също е намаляваща и положителна. Оттам най-голямата стойност е в х=0 (у=3), най-малката в |х|=1 (у=0).
Като се върнем в първото уравнение, искаме
[tex]ay^2-(a+2)y+a+1=0[/tex] да има поне едно решение в интервала [0;3].
1) D=0: [tex]4-3a^2=0[/tex] - [tex]y=\frac{a+2}{2a}[/tex] - само [tex]a=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex] е решение от този случай.
2) D>0, но има само един корен в интервала [0;3] - [tex]f(3)f(0) \le 0 <=> (7a-5)(a+1)<0[/tex]
3) D>0, има два корена в интервала: [tex]f(3).f(0)>0\cap \frac{a+2}{2a} \in [0;3][/tex]