Няколко въпроса за параметричните уравнения

[ismarti]

Здравейте. Решавам задачи от ръководството на Васил Лазаров. Обаче имам малко разминавания относно решените задачи там. Например ето тази:
Дадено е уравнението [tex](a-1)x^4-4x^2+a+2=0[/tex]
а=? за да има:
a)4 реални корена
б)два реални корена
в)няма реални корени
Става въпрос за подточка а.
Полагаме си [tex]x^2=u[/tex].
И в сборника пише, че D≥0 както и необходимите условия са уравнението да има два НЕОТРИЦАТЕЛНИ корена.
Но според мен и двата корена трябва да са >0, както и D>0. За да има два корена, които са >0 и пред тях да сложим по един [tex]\pm[/tex] и да получим 4 корена.
крайното решение е[tex]a\in (1;2][/tex]
Заместя ли с 2, получавам:
[tex]x^4-4x^2+4=0[/tex]
[tex](x^2-2)^2=0[/tex]
И оттам нататък отговорът е [tex]\pm sqrt{2}[/tex]
Но корените не са 4.
Та може ли да ме светнете дали аз бъркам.

Другата задача е следната:
Дадено е квадратното уравнение [tex](m-3)x^2-6x+m+5=0[/tex]
m=? уравнението има:
а)реални корени
б)два положителни реални корена
Да подточка а е ясно, че D≥0, но трябва да изключа 3, защото е изрично указано, че уравнението е квадратно.
Но за подточка б като отговор е дадено [tex]a\in (3;4][/tex]
Няма смисъл да се решава, ясно се вижда затворения интервал. Но нали корените трябва да са 2, защо D≥0?

[strangerforever]

Здравейте. Решавам задачи от ръководството на Васил Лазаров. Обаче имам малко разминавания относно решените задачи там. Например ето тази:
Дадено е уравнението [tex](a-1)x^4-4x^2+a+2=0[/tex]
а=? за да има:
a)4 реални корена

[tex]x^2 = t \ge 0[/tex]

[tex](a-1)y^2 - 4y + a + 2 = 0[/tex]

От един положителен y - два корена.
От един y = 0 - един двоен корен.
От един y < 0 - няма реални корени.

Искат 4 реални => два положителни y.

По-горното уравнение има 2 положителни y, когато:

[tex](1) \frac{c}{a} > 0[/tex]
[tex](2) -\frac{b}{a} > 0[/tex]
[tex](3) D \ge 0[/tex]

Забележка: Ако беше посочено, че е нужно корените да са реални И РАЗЛИЧНИ, D нямаше да може да е 0.

С примера за 2, който си дал, да, ти получаваш 2 корена, но и 2та корена са двойни, така че са 4 общо.

[ismarti]

Здравейте. Решавам задачи от ръководството на Васил Лазаров. Обаче имам малко разминавания относно решените задачи там. Например ето тази:
Дадено е уравнението [tex](a-1)x^4-4x^2+a+2=0[/tex]
а=? за да има:
a)4 реални корена

[tex]x^2 = t \ge 0[/tex]

[tex](a-1)y^2 - 4y + a + 2 = 0[/tex]

От един положителен y - два корена.
От един y = 0 - един двоен корен.
От един y < 0 - няма реални корени.

Искат 4 реални => два положителни y.

По-горното уравнение има 2 положителни y, когато:

[tex](1) \frac{c}{a} > 0[/tex]
[tex](2) -\frac{b}{a} > 0[/tex]
[tex](3) D \ge 0[/tex]

Забележка: Ако беше посочено, че е нужно корените да са реални И РАЗЛИЧНИ, D нямаше да може да е 0.

С примера за 2, който си дал, да, ти получаваш 2 корена, но и 2та корена са двойни, така че са 4 общо.

Много ти благодаря!