Кубично уравнение

[v1rusman]

зад. Да се реши уравнението [tex]x^3-3x=\sqrt{x+2}[/tex].

[mkmarinov]

[tex]x=2cosu[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]x=2cosu[/tex]

При тази смяна означава, че х трябва да се изменя от -2 до 2.
Това не е така.

[mkmarinov]

Кое не е така?!

[ganka simeonova]

Значи, ако трябва да сме искрени, у-то има три корена, които са в [-2; 2]
На мен не ми е ясно, на какво основание правиш тази смяна.

[cruisebg]

Е добре защо не повдигнеш и после хорнер

[mkmarinov]

След смяната на променливи и две формули, уравнението се превръща в
[tex]cos3u=|\cos\frac{u}{2}|[/tex]
което се решава изключително лесно спрямo u.
С Хорнер не става, 2 от корените са ирационални числа.

[strangerforever]

След смяната на променливи и две формули, уравнението се превръща в
[tex]cos3u=|\cos\frac{u}{2}|[/tex]
което се решава изключително лесно спрямo u.
С Хорнер не става, 2 от корените са ирационални числа.

Би ли го разписал цялото?

[mkmarinov]

От полагането, можем да разглеждаме само [tex]u \in [0; 2\pi)[/tex].
За да имаме решение е задължително [tex]cos3u \ge 0[/tex]
[tex]3u \in [0; \frac{\pi}{2}]\cup [\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}][/tex], т.е.
[tex]u \in [0; \frac{\pi}{6}] \cup [\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6}] \cup [\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}][/tex]
Нека разгледаме знака на косинуса на половинката с тези ограничения:
[tex]\frac{u}{2} \in [0; \frac{\pi}{12}] \cup [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{12}] \cup [\frac{7\pi}{12}; \frac{3\pi}{4}][/tex]

1) [tex]\cos \frac{u}{2} \ge 0 <=> \frac{u}{2} \in [0; \frac{\pi}{12}] \cup [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{12}][/tex]
[tex]u \in [0; \frac{\pi}{6}] \cup [\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6}][/tex]
След разкриване на модула уравнението става:
[tex]cos3u-\cos\frac{u}{2}=0[/tex]
[tex]\sin\frac{7u}{4}\sin\frac{5u}{4}=0[/tex]
[tex]u=\frac{4k\pi}{7} \cup u=\frac{4k\pi}{5}[/tex]
След заместване на к и обхождане на всички решения виждаме, че в интервалите попадат само
[tex]u_1=0; u_2=\frac{4\pi}{7}; u_3=\frac{4\pi}{5}[/tex].

2) Другият случай - косинус на половинка е отрицателен - не се получават решения.

Окончателно:[tex]x_1=2; x_2=2\cos \frac{4\pi}{7}; x_3=2\cos\frac{4\pi}{5}[/tex]
(третият корен може да се преработи в алгебричен вид)