Параметрично у-ние

[sisoko15]

[tex]m=? mx^4-(2m-1)x^2+m-2=0[/tex]
[tex]{x_1}^4+{x_2}^4+{x_3}^4+{x_4}^4=6(x_1x_2x_3x_4)^2[/tex]

[martin123456]

1) [tex]m=0[/tex] => [tex]-x^2-2=0[/tex], което има само 2 комплексни корена
2) [tex]m \ne 0[/tex]. полагаме [tex]y=x^2[/tex], [tex]my^2-(2m-1)y+m-2=0[/tex]=>[tex]y_1+y_2=\frac{2m-1}{m}[/tex], [tex]y_1y_2=\frac{m-2}{m}[/tex].
разглеждаме [tex]y_1=x^2[/tex]. то има 2 корена [tex]x_1,\hspace{2mm}x_2[/tex], [tex]x_1+x_2=0[/tex], [tex]x_1x_2=-y_1[/tex]. аналогично и за другото. получихме следните зависимости
[tex]x_1+x_2=0[/tex]
[tex]x_3+x_4=0[/tex]
[tex]x_1x_2=-y_1[/tex]
[tex]x_3x_4=-y_2[/tex]
[tex]y_1+y_2=\frac{2m-1}{m}[/tex]
[tex]y_1y_2=\frac{m-2}{m}[/tex]

значи [tex]x_1x_2x_3x_4=\frac{m-2}{m}[/tex]
[tex]0=(x_1+x_2)^2=x^2_1+x^2_2-2y_1[/tex]=>[tex]x_1^2+x_2^2=2y_1[/tex]=>[tex]x_1^4+x_2^4+2y_1^2=4y_1^2[/tex]
аналогично и за другото. значи [tex]x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=2(y_1^2+y_2^2)[/tex]
и нататак май е по-лесно

[seppen]

По-накратко записано.
[tex]\normal y_1={x_1}^2={x_2}^2[/tex]
[tex]\normal y_2={x_3}^2={x_4}^2[/tex]

[tex]\normal 2({y_1}^2+{y_2}^2)=6({y_1}^2 {y_2}^2)[/tex]
И сега Виет.
Като трябва да съобразиш [tex]\normal D>0, y_1>0, y_2>0[/tex]

[sisoko15]

1) [tex]m=0[/tex] => [tex]-x^2-2=0[/tex], което има само 2 комплексни корена

Тук не ли [tex]+x^2-2=0[/tex]? [tex]x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+x_{4}^4=6(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})^2[/tex] не може ли по някакъв начин да се разложи с Виет за 4-та степен?

[seppen]

Може, но за какво ти е, като имаш биквадратно уравнение.
[tex]\normal y_1 y_2 = \frac{m-2}{m} \\ y_1 + y_2 = \frac{2m-1}{m}[/tex]
И заместваш.