Решете в целочислени числа

[xyz]

Съществуват ли цели положителни (ненулеви) числа [tex]x_1[/tex], [tex]y_1[/tex], [tex]x_2[/tex], [tex]y_2[/tex], такива че:
[tex]x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2[/tex],
и
[tex]x_1-x_2=2(y_1-y_2)[/tex].

[pipi langstrump]

x1 = x2, a y1 и y2 произволни или обратното.

[dimy93]

x1 = x2, a y1 и y2 произволни или обратното.

всъщност ако x1=x2 =>y1=y2 но да x1=x2,y1=y2 е решение

[pipi langstrump]

вярно. блея някъде

[dimy93]

и все пак си мисля че условието трябва да бъде различни

[strangerforever]

и все пак си мисля че условието трябва да бъде различни

[tex]x1 = x2[/tex] и [tex]y1 = y2[/tex] е единственото решение.

Разглеждаме [tex]x_1 \ne x_2[/tex] и [tex]y_1 \ne y_2[/tex]:

[tex]x_1^2 - x_2^2 = y_2^2 - y_1^2[/tex]
[tex](x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = (y_2 - y_1)(y_2 + y_1)[/tex]
[tex]2(y_1 - y_2)(x_1 + x_2) = (y_2 - y_1)(y_2 + y_1)[/tex]
[tex]2(x_1 + x_2) = -(y_2 + y_1)[/tex]

Дясната страна е винаги отрицателна, лявата - винаги положителна, няма други решения.