Единствено решение на уравнение

[v1rusman]

зад. Да се намерят стойносите на [tex]a[/tex], при които съществува единствена двойка числа [tex](x;y)[/tex], за която

[tex]ax^2+(3a+2)y^2+4axy-2ax+(4-6a)y+2=0[/tex].

Единствено, което успях да измисля, е разлагане на точни квадрати, но пак остават множители, които не могат лесно да се изследват, за да се намери а.

[L.e.o]

Не знам колко е коректна идеята, но все пак ще я споделя:
Разглеждаш у-ето спрямо х. То е квадратно. За да има само едно решението за х, то дискриминантата трябва да е равна на нула: D=0. Това дава ново у-е, което е квадратно и е спрямо у. За да има само едно решение , то и неговата дискриминанта трябва да е равна но 0. Това вече ще даде у-е спрямо а, чиито решения са отговорите на задачата.

Kaто отговор получавам а=1.5 , при което се получават едични решения х=-5 и у=3.

[v1rusman]

Еми напиши решението да видим какво ще получиш. И аз имах идея и мислех, че работи, ама като я направих докрай видях, че не става.

[ganka simeonova]

зад. Да се намерят стойносите на [tex]a[/tex], при които съществува единствена двойка числа [tex](x;y)[/tex], за която

[tex]ax^2+(3a+2)y^2+4axy-2ax+(4-6ay)+2=0[/tex].

Единствено, което успях да измисля, е разлагане на точни квадрати, но пак остават множители, които не могат лесно да се изследват, за да се намери а.

Последната скоба обхваща ли у или е преди у?

[v1rusman]

Преди него е, ще го поправя.

[mkmarinov]

След преобразувания се получава:
[tex]a(x-3)^2+4a(x-3)(y+1)+(3a+2)(y+1)^2=0[/tex]
[tex]y=-1: x=3[/tex] - решение е. Искаме да няма друга двойка. След деление и полагане (положеното приема произволни стойности *):
[tex]at^2+4at+3a+2=0[/tex]
[tex]D=4a^2-3a^2-2a=a(a-2)[/tex]
Искаме D<0, или [tex]a \in (0;2)[/tex]