Параметрично неравенство„

[baroveca]

Дадено е функцията [tex]f(x)=x^4-32[/tex]. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които неравенството
[tex]f(x)\ge \sqrt{6a-2a^2} -4a-42[/tex] е изпълнено за всяко реално число х.

[strangerforever]

Дадено е функцията [tex]f(x)=x^4-32[/tex]. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които неравенството
[tex]f(x)\ge \sqrt{6a-2a^2} -4a-42[/tex] е изпълнено за всяко реално число х.

[tex]a \in [0;3] ?[/tex]

[baroveca]

Отговорът е [tex][2;3][/tex] Би ли казал как разсъждаваш?

[strangerforever]

Отговорът е [tex][2;3][/tex] Би ли казал как разсъждаваш?

Проверка за 1:

x^4 - 32 >= 2 - 4 - 42
x^4 + 12 >= 0

Провери си отговора и задачата.

[baroveca]

Това е отговора..така е даден в сборника. Но кажи ми как разсъждаваш.

[strangerforever]

[tex]x^4 - 32 \ge -32[/tex]

=> за да е всяко X решение, трябва [tex]\sqrt{6a-2a^2} - 4a - 42 \le -32[/tex]

[tex]\sqrt{6a-2a^2} \le 10 + 4a[/tex]

[tex]DM:[/tex]
[tex]6a - 2a^2 \ge 0 <=> a \in [0;3][/tex]
[tex]10 + 4a \ge 0 <=> a \ge -\frac{5}{2}[/tex]
Общо: [tex]a \in [0;3][/tex]


[tex]6a - 2a^2 \le 100 + 80a + 16a^2[/tex]
[tex]18a^2 + 74a + 100 \ge 0[/tex]
[tex]9a^2 + 37a + 50 \ge 0[/tex]
[tex]D = 37^2 - 1800 < 0[/tex]
=> всяко [tex]a \in DM[/tex]
[tex]=> a \in [0;3][/tex]

[baroveca]

Извинявам се..имам печатна грешка. [tex]f(x)=x^4-32x[/tex] е функцията. Но въпросът ми е следния: как така се сетихме,че в случая с грешката намираме локалния минимум и на мястото на ф-цията го поставяме него?

[strangerforever]

Извинявам се..имам печатна грешка. [tex]f(x)=x^4-32x[/tex] е функцията. Но въпросът ми е следния: как така се сетихме,че в случая с грешката намираме локалния минимум и на мястото на ф-цията го поставяме него?

Каквото и да е x, f(x) не може да е повече от -32. Искаме при каквато и да е стойност на x, другият израз с a, да е винаги <= от f(x). Нужно е да е го ограничим само до минималната стойност, защото щом е <= от мин. стойност, значи е <= и от по-големите стойности.

Това в предишния случай. Тук пак имаме минимум и той е -48, но не знам дали ще можеш да го намериш.

[baroveca]

мога да го намеря минимума...но все още ми е мъгла за това как става... как така щом е <= от мин. стойност, то е и <=0 от по-големите?

[strangerforever]

мога да го намеря минимума...но все още ми е мъгла за това как става...

Ок, малко различен подход на обяснение:

Да кажем, че тоя израз дето е с "a" е g(a).

Искаме f(x) >= g(a)
И то за всяко x.
Откриваме f(x) >= -48
Изваждаме ги:
0 >= g(a) + 48
-48 >= g(a)

А сега да ти го обясня отново, за да разбереш логиката.

f(x) приема дадени стойности за различни x-ове, за 1 - една стойност, за 2 - друга и т.н.
Откриваме кое е най-НИСКАТА му стойност. Т.е. какъвто и друг x да му подадем, той няма да върне по-висока стойност от тази. Достатъчно е да проверим, че g(a) <= min( f(x) ), защото ако това е изпълнено, то g(a)<=f(x), за което и да е друго x, защото КАКВЪТО и друг x да му подадем, той ще върне по-голяма стойност и пак ще е изпълнено.

Разбираш ли, просто искаме на нашата функция какъвто и е хикс да и подадем, тя да върне стойност, по-голяма от g(a). Понеже нашата функция f(x) връща стойности винаги по-големи от -48, щом g(a) <= -48, значи g(a) ще е <= и от която и да е друга стойност на функцията, защото всички други стойности на функцията са по-големи от -48.

[baroveca]

мисля,,че го разбирам..дано утре нещата да ми се опреснят..