Кубично уравнение - СУ

[v1rusman]

зад. Да се намерят стойностите на параметъра [tex]a[/tex], при които уравнението

[tex]2x^3-ax^2-9x+5a=0[/tex]

има точно 2 решения.

[mkmarinov]

[tex]a(x^2-5)=2x^3-9x=2x(x^2-5)+x[/tex]
[tex]x= \pm \sqrt{5}[/tex] не е решение. Делим. Искаме уравнението
[tex]a=2x+\frac{x}{x^2-5}[/tex] да има 2 решения. Означаваме лявата страна с f(x).
[tex]f'(x)=2+\frac{x^2-5-2x^2}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^4-20x^2+50-5-x^2}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^4-21x^2+45}{(x^2-5)^2}[/tex].
Оттук можеш лесно да видиш каква е графиката на f(x) (първата производна е решима). За отговори на задачата би трябвало да получиш корените на биквадратното уравнение.

[strangerforever]

[tex]a(x^2-5)=2x^3-9x=2x(x^2-5)+x[/tex]
[tex]x= \pm \sqrt{5}[/tex] не е решение. Делим. Искаме уравнението
[tex]a=2x+\frac{x}{x^2-5}[/tex] да има 2 решения. Означаваме лявата страна с f(x).
[tex]f'(x)=2+\frac{x^2-5-2x^2}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^4-20x^2+50-5-x^2}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^4-21x^2+45}{(x^2-5)^2}[/tex].
Оттук можеш лесно да видиш каква е графиката на f(x) (първата производна е решима). За отговори на задачата би трябвало да получиш корените на биквадратното уравнение.

Има ли решение и без производни?

[v1rusman]

И аз изследвам функцията по-подобен начин, за да намеря стойностите, които може да приема параметъра а, но как доказваш, че отговорът е решение на биквадратното уравнение ?

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]a(x^2-5)=2x^3-9x=2x(x^2-5)+x[/tex]
[tex]x= \pm \sqrt{5}[/tex] не е решение. Делим. Искаме уравнението
[tex]a=2x+\frac{x}{x^2-5}[/tex] да има 2 решения. Означаваме лявата страна с f(x).
[tex]f'(x)=2+\frac{x^2-5-2x^2}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^4-20x^2+50-5-x^2}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^4-21x^2+45}{(x^2-5)^2}[/tex].
Оттук можеш лесно да видиш каква е графиката на f(x) (първата производна е решима). За отговори на задачата би трябвало да получиш корените на биквадратното уравнение.

Има ли решение и без производни?

С виет дали няма да излезе

[mkmarinov]

Да - кубичното уравнение има 2 корена, когато един от тях е двоен.

[v1rusman]

Виж, разбирам ти решението - и аз я изследвам по подобен начин, но как доказваш, че в корените на производната се получава решение на задачата. Тази част липсва.

[mkmarinov]

Оттук можеш лесно да видиш каква е графиката на f(x)

[v1rusman]

Можеш ли да го докажеш без графика ? Затова те питам толкова настоятелно.

[mkmarinov]

В този случай - не. Целта беше от едната страна да остане функция на х, от другата - линейна функция на параметъра, при което графичният метод е доста удобен.