Ирационално уравнение корен (x^2-x+1) + 2x = 3

[Stefing]

[tex]\sqrt{x^2-x+1} + 2x = 3[/tex]

Аз лично подходих така - повдигнах цялото уравнение на квадрат за да се освободя от коренната величина и след това решавам като квадратно уравнение. Получавам => [tex]5x^2-x-8 = 0[/tex] , обаче дискриминантата ми излиза число което няма точен корен, а дадения отговор е 1. Какво не правя както трябва ?

[strangerforever]

[tex]\sqrt{x^2 - x + 1} = 3 - 2x[/tex]

При [tex]x \in (-\infty;\frac{3}{2}][/tex] вдигаш на квадрат.

[tex]x^2 - x + 1 = 9 - 12x + 4x^2[/tex]
[tex]3x^2 - 11x + 8 = 0[/tex]
[tex]x_1 = 1[/tex]
[tex]x_2 = \frac{8}{3}[/tex]

Само 1 е решение.

[Stefing]

Благодаря ти за помоща

[MMaster]

[tex]sqrt{x-3} + sqrt{x-7} = a[/tex]
Задачата е от сборника на Чакърян. Отговорът е: при [tex]a<2[/tex] няма решение, а при [tex]a\ge2[/tex] има единствено решение [tex]x=\frac{a^{4}+20a^{2}+16}{4a^{2}}.[/tex]
Та как става това разделяне на два интервала и по-общо как се подхожда при ирационални параметрични уравнения?

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt{x^2-x+1} + 2x = 3[/tex]

Аз лично подходих така - повдигнах цялото уравнение на квадрат за да се освободя от коренната величина и след това решавам като квадратно уравнение. Получавам => [tex]5x^2-x-8 = 0[/tex] , обаче дискриминантата ми излиза число което няма точен корен, а дадения отговор е 1. Какво не правя както трябва ?

Четейки поста ти, си повдигнал на 2 степен безобразно!

[strangerforever]

[tex]sqrt{x-3} + sqrt{x-7} = a[/tex]
Задачата е от сборника на Чакърян. Отговорът е: при [tex]a<2[/tex] няма решение, а при [tex]a\ge2[/tex] има единствено решение [tex]x=\frac{a^{4}+20a^{2}+16}{4a^{2}}.[/tex]
Та как става това разделяне на два интервала и по-общо как се подхожда при ирационални параметрични уравнения?

За да съществуват двата коренa е нужно [tex]x \ge 7 \Rightarrow \sqrt{x-3} \ge 2, \sqrt{x-7} \ge 0 \Rightarrow a \ge 2[/tex].

При горните условия, вдигаме на квадрат и получаваме:

[tex]x - 3 + x - 7 + 2\sqrt{ (x-3)(x-7) } = a^2[/tex]

[tex]2\sqrt{ (x-3)(x-7) } = a^2 - 2x + 10[/tex]

За да има равенство, а и за да вдигнем отново на квадрат е нужно [tex]a^2 - 2x + 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{a^2}{2} + 5[/tex].

[tex]4(x^2 - 10x + 21) = a^4 + 4x^2 + 100 - 4a^2x + 20a^2 - 40x[/tex]

[tex]4x^2 - 40x + 84 = a^4 + 4x^2 + 100 - 4a^2x + 20a^2 - 40x[/tex]

[tex]a^4 - 4a^2x + 20a^2 + 16 = 0[/tex]

[tex]4a^2x = a^4 + 20a^2 + 16[/tex]

[tex]x = \frac{a^4 + 20a^2 + 16}{4a^2}[/tex]

Проверка за DM:

[tex]\frac{a^4 + 20a^2 + 16}{4a^2} \ge 7[/tex]

[tex]a^4 + 13a^2 + 16 \ge 0[/tex]

[tex]a \in (-\infty;\infty)[/tex]

[tex]\frac{a^4 + 20a^2 + 16}{4a^2} \le \frac{a^2}{2} + 5[/tex]

[tex]a^4 + 20a^2 + 16 \le 2a^4 + 20a^2[/tex]

[tex]a^4 - 16 \ge 0[/tex]

[tex]a \in (-\infty;-2] \cup [2;\infty)[/tex]

Общо:

При [tex]a < 2[/tex] - няма решение

При [tex]a \ge 2[/tex] - [tex]x = \frac{a^4 + 20a^2 + 16}{4a^2}[/tex]

[mkmarinov]

[tex]sqrt{x-3} + sqrt{x-7} = a[/tex]
Задачата е от сборника на Чакърян. Отговорът е: при [tex]a<2[/tex] няма решение, а при [tex]a\ge2[/tex] има единствено решение [tex]x=\frac{a^{4}+20a^{2}+16}{4a^{2}}.[/tex]
Та как става това разделяне на два интервала и по-общо как се подхожда при ирационални параметрични уравнения?

Едно полагане доста опростява:
1) u=x-5:
[tex]\sqrt{u-2}+\sqrt{u+2}=a[/tex], за да има смисъл a>0
[tex]2u+2\sqrt{u^2-4}=a^2[/tex], след прехвърляне и повдигане на квадрат (* DM):
[tex]4u^2-16=a^4-4a^2u+4u^2[/tex]
[tex]u=\frac{a^2}{4}+\frac{4}{a^2}[/tex] - това ни е решението, остава да сверим с ДМ.

От ДМ в * имаме: [tex]a^2-2u \ge 0 => a^2 \ge 2u[/tex]. Заместваме u:
[tex]\frac{a^2}{2} \ge \frac{a^2}{4}+\frac{4}{a^2}[/tex], или
[tex]\frac{a^2}{4} \ge \frac{4}{a^2} => a^4 \ge 16[/tex]. Т.к. а >= 0 от първия ред, a >= 2.