Параметрично у-ние

[pipi langstrump]

Да се намерят стойностите на a, за които неравенството е изпълнено за всяко x.
[tex]|3 sin^2x +2a sin x cos x + cos^2x + a|\le 3[/tex]

[mkmarinov]

[tex]f(x)=|3sin^2x+2asinxcosx+cos^2x+a|=|2sin^2x+a sin2x+a+1|=|1-cos2x+a sin2x+a+1|=\\=|a sin2x-cos2x+a+2|=|\sqrt{a^2+1}(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}sin2x-\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}cos2x)+a+2|[/tex].
Нека [tex]\alpha[/tex] е такъв ъгъл, че [tex]sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}, cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}[/tex]
[tex]f(x)=|-\sqrt{a^2+1}cos(2x+\alpha)+a+2| \le 3[/tex], което се разделя на система от две неравенства:
1)
[tex]-\sqrt{a^2+1}cos(2x+\alpha)+a+2 \le 3[/tex]
[tex]-\sqrt{a^2+1}cos(2x+\alpha)+a \le 1[/tex]
[tex]cos(2x+\alpha) \ge \frac{a-1}{\sqrt{a^2+1}}[/tex]
=> [tex]\frac{a-1}{\sqrt{a^2+1}} \le -1[/tex], от което първото неравенство става просто [tex]a \le 0[/tex].
2)
[tex]-\sqrt{a^2+1}cos(2x+\alpha)+a+2 \ge -3[/tex]
[tex]cos(2x+\alpha) \le \frac{a+5}{\sqrt{a^2+1}}[/tex]
=> [tex]\frac{a+5}{\sqrt{a^2+1}} \ge 1[/tex], което има за решения [tex]a \ge -2,4[/tex]

След сечението: [tex]a \in [-2,4; 0][/tex]

[pipi langstrump]

Вярно