Модул в модула?

[glupi2]

Здравейте!
Днес започнах да преговарям модулните уравнения, но не знам как да реша това:

|[tex]x^{2}[/tex] - 5|x| + 3| + |[tex]x^{2}[/tex] - 4| =11

Нямам си и на идея как да почна. Ако някой знае да помага, че тия модули хич не са ми любими .

п.с. Отговора на задачата го нямам, намерих я записана в тетрадката си и просто искам да разбера как се решават модулни уравнения от този тип. Благодаря, предварително!

[strangerforever]

1. При [tex]x\ge 0[/tex] уравнението е еквивалентно с

[tex]|x^2 - 5x + 3| + |x^2 - 4| = 11[/tex]

Разделяме числовата ос с [tex]2, \frac{5\pm \sqrt{13}}{2}[/tex].

Разглеждаме само неотрицателните интервали:

1.1. При [tex]x \in [0; \frac{5-sqrt{13}}{2}) \Rightarrow |x^2 - 5x + 3| = x^2 - 5x + 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = 4 - x^2[/tex]

Тогава имаме [tex]x^2 - 5x + 3 + 4 - x^2 = 11 \Leftrightarrow x = -\frac{4}{5}[/tex], което не принадлежи на интервала.

1.2. При [tex]x \in [\frac{5-sqrt{13}}{2};2) \Rightarrow |x^2 - 5x + 3| = -x^2 + 5x - 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = 4 - x^2[/tex]

Тогава имаме [tex]-x^2 + 5x - 3 + 4 - x^2 = 11 \Leftrightarrow -2x^2 + 5x - 10 = 0[/tex], което няма реални корени.

1.3. При [tex]x \in [2;\frac{5+sqrt{13}}{2}) \Rightarrow |x^2 - 5x + 3| = -x^2 + 5x - 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = x^2 - 4[/tex]

Тогава имаме [tex]-x^2 + 5x - 3 + x^2 - 4 = 11 \Leftrightarrow x = \frac{18}{5}[/tex]. Да допуснем, че принадлежи на разглеждания интервал:

[tex]\frac{18}{5} < \frac{5+sqrt{13}}{2}[/tex]

[tex]11 < 5\sqrt{13}[/tex]

[tex]11.11 < 25.13[/tex]

Допускането е вярно, значи принадлежи.

1.4. При [tex]x \in [\frac{5+sqrt{13}}{2}; \infty) \Rightarrow |x^2 - 5x + 3| = x^2 - 5x + 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = x^2 - 4[/tex]

Тогава имаме [tex]x^2 - 5x + 3 + x^2 - 4 = 11 \Leftrightarrow 2x^2 - 5x - 12 = 0[/tex] с корени [tex]x_1 = 4[/tex] и [tex]x_2 = -\frac{3}{2}[/tex]. Вторият не принадлежи на разглеждания интервал, да допуснем, че първият принадлежи:

[tex]4 \ge \frac{5+sqrt{13}}{2}[/tex]

[tex]3 \ge sqrt{13}[/tex]

Противоречие, значи не принадлежи.

2. При [tex]x < 0[/tex] уравнението е еквивалентно с

[tex]|x^2 + 5x + 3| + |x^2 - 4| = 11[/tex]

Разделяме числовата ос с [tex]-2, \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}[/tex].

2.1. При [tex]x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{13}}{2}] \Rightarrow |x^2 + 5x + 3| = x^2 + 5x + 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = x^2 - 4[/tex]

Тогава имаме [tex]x^2 + 5x + 3 + x^2 - 4 = 11 \Leftrightarrow 2x^2 + 5x - 12[/tex] с корени[tex]x_1 = \frac{3}{2}[/tex] и [tex]x_2 = -4[/tex]. Първият не принадлежи на интервала, да допуснем, че вторият принадлежи:

[tex]-4 \le \frac{-5-\sqrt{13}}{2}[/tex]

[tex]-3 \le -\sqrt{13}[/tex]

[tex]3 \ge sqrt{13}[/tex]

Противоречие, не принадлежи.

2.2. При [tex]x \in (\frac{-5-\sqrt{13}}{2}; -2] \Rightarrow |x^2 + 5x + 3| = - x^2 - 5x -[/tex]3 и [tex]|x^2 - 4| = x^2 - 4[/tex]

Тогава имаме [tex]-x^2 - 5x - 3 + x^2 - 4 = 11 \Leftrightarrow x = -\frac{18}{5}[/tex]. Да допуснем, че принадлежи:

[tex]-\frac{18}{5} > \frac{-5-\sqrt{13}}{2}[/tex]

[tex]36 < 25 + 5\sqrt{13}[/tex]

[tex]11 < 5 \sqrt{13}[/tex]

[tex]121 < 5.169[/tex]

Допускането е вярно, значи принадлежи.

2.3. При [tex]x \in (-2;\frac{-5+\sqrt{13}}{2}] \Rightarrow |x^2 + 5x + 3| = -x^2 - 5x - 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = 4 - x^2[/tex]

Тогава имаме [tex]-x^2 -5x - 3 + 4 - x^2 = 11 \Leftrightarrow -2x^2 - 5x -10 = 0[/tex], което няма реални корени.

2.4. При [tex]x \in (\frac{-5+\sqrt{13}}{2};0) \Rightarrow |x^2 + 5x + 3| = x^2 + 5x + 3[/tex] и [tex]|x^2 - 4| = 4 - x^2[/tex]

Тогава имаме [tex]x^2 + 5x + 3 + 4 - x^2 = 11 \Leftrightarrow x = \frac{4}{5}[/tex], което не принадлежи на интервала.

Окончателно решенията са [tex]\pm \frac{18}{5}[/tex]

[mkmarinov]

Използвай, че [tex]x^2=|x|^2[/tex]
[tex]|x|=u\ge 0[/tex]
[tex]|u^2-5u+3|+|u^2-4|=11[/tex]
И оттам се решава 1 случай, който strangerforever е написал.

[glupi2]

Ммм, че то не било толкоз трудно . Благодаря!

[ufko]

Здравейте, и аз съм 12 клас, и започнах да преговарям вече, но и нещо модулите съм ги забравил тотално... Моята задача е подобна, затова няма да пускам нова тема. Забравил съм как се решаваше модула в модула. Задачата е следната:

|x-8|-|2|x-8|+x|=2x-4 Отговора е -2

Мерси предварително

[matdia]

1) Ако х-8≥0 х≥8 /*/
|x-8|=x-8
x-8-|3x-16|=2x-4
|3x-16|=-x-4

1.1)3x-16≥0 x≥16/3 /**/
3x-16=-x-4 x=3 противоречи на /*/
1.2) 3х-16<0 х<16/3 противоречи на /*/

2)Ако Х<8 /***/
-х+8- |-x+16|=2x-4
|-x +16|=-3x+12

2.1)-x+16≥0 x≤ 16 /****/
-x+16=-3x+12 x=-2 решение е
2.2) -х+16<0 х>16 противоречи на /***/

така x=-2 е единственото решение