Брой решения

[mathinvalidnik]

Намерете броят на различните решения в цели неотрицателни числа на уравнението:

[tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=33[/tex]

[tex]1\le x_{4} \le 11[/tex]

[mathinvalidnik]

Аз получавам [tex](_{3}^{35})-(_{3}^{24})[/tex] ако все пак някой е решил да смята,да сравмним.

[Добромир Глухаров]

И аз получавам [tex]4521[/tex], макар и по по-бабешки начин (не чрез комбинаторика, а чрез последователно преброяване за всяко [tex]x_4[/tex] от [tex]1[/tex] до [tex]11[/tex]).

[mathinvalidnik]

И аз получавам [tex]4521[/tex], макар и по по-бабешки начин (не чрез комбинаторика, а чрез последователно преброяване за всяко [tex]x_4[/tex] от [tex]1[/tex] до [tex]11[/tex]).

смисъл , фиксираш си последователно[tex]x_{4}=1,2,3....11[/tex] И за всяка една стойност проверяваш колко възможни комбинации има за останалите 3 стойности ли?Щото и аз така бях я пробвал ,със суми.

аз така бях го направил ако :
[tex]x_{4}=1[/tex] - > [tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}=32[/tex] -> И тук фиксираш [tex]x_{1}[/tex] последователно от 0 до 32 и тогава за[tex]x_{2}[/tex] И[tex]x_{3}[/tex] ти остават съответно 33,32,31....1 възможнисти и ги събираш ?Така ли разсъждаваше или по друг начин?

[Добромир Глухаров]

И аз получавам [tex]4521[/tex], макар и по по-бабешки начин (не чрез комбинаторика, а чрез последователно преброяване за всяко [tex]x_4[/tex] от [tex]1[/tex] до [tex]11[/tex]).

смисъл , фиксираш си последователно[tex]x_{4}=1,2,3....11[/tex] И за всяка една стойност проверяваш колко възможни комбинации има за останалите 3 стойности ли?Щото и аз така бях я пробвал ,със суми.

аз така бях го направил ако :
[tex]x_{4}=1[/tex] - > [tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}=32[/tex] -> И тук фиксираш [tex]x_{1}[/tex] последователно от 0 до 32 и тогава за[tex]x_{2}[/tex] И[tex]x_{3}[/tex] ти остават съответно 33,32,31....1 възможнисти и ги събираш ?Така ли разсъждаваше или по друг начин?

Точно така разсъждавах. Получих израза:

[tex]\frac{1}{2}\(34.33+33.32+32.31+...+24.23\)=\frac{1}{2}\cdot\sum_{k=23}^{33}k(k+1)[/tex]

[tex]\sum_{k=23}^{33}k(k+1)=\sum_{k=23}^{33}k^2+\sum_{k=23}^{33}k=\sum_{k=1}^{33}k^2-\sum_{k=1}^{22}k^2+\frac{(23+33).11}{2}[/tex]

Накрая използвах, че:

[tex]\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]