Да се намерят всички естесвени числа, x*y/z + y*z/x +z*x/y=3

[tj_love]

Да се намерят всички естесвени числа x, y, z, за които x*y/z + y*z/x +z*x/y = 3

[grav]

Неравенството между средно аритметичното и средно геометричното дава

[tex]1=\frac{\frac{xy}z+\frac{yz}x+\frac{zx}y}3\ge \sqrt[3]{xyz}.[/tex]

От което следва
[tex]xyz\le 1.[/tex]
След като са естествени, и очевидно никое не е нула, следва
[tex]x=y=z=1[/tex]
което е решение.