Да се реши уравнението x^3-3x+1=0

[atnast]

Да се реши уравнението [tex]x^{3}-3x+1=0[/tex]

[mkmarinov]

[tex]x=2cost[/tex]:
[tex]8cos^3t-6cost+1=0[/tex]
[tex]2(4cos^3t-3cost)=-1[/tex]
[tex]cos3t=-\frac{1}{2}[/tex]
...

[dim]

[tex]x=2cost[/tex]:
[tex]8cos^3t-6cost+1=0[/tex]
[tex]2(4cos^3t-3cost)=-1[/tex]
[tex]cos3t=-\frac{1}{2}[/tex]
...

Все пак трябва да се докаже, че [tex]-2<x<2[/tex], защото иначе може да загубим решения. Всъщност като видим, че са 3 реални корена и направим проверка това е достатъчно. Но ако са два тогава няма да сме сигурни дали нещо не се е загубило.

ПП: Може да се пробва да се положи нещо с tg, за да няма такъв проблем.

[mkmarinov]

Достатъчно е да се намери поне един корен, след това със схемата на Хорнер се разлага до квадратно уравнение.

[dim]

Съгласен съм. Но е възможно да не открием нито един корен с това полагане, а у-то да има корен навън от интервала за който търсим решение. Или да няма, което пак трябва да се покаже. Но случая не е такъв, така че няма какво да го мислим.

[ganka simeonova]

Въпреки, че у-та от трета степен не са ми интересни, ще предложа решение на у-то от вида:
[tex]x^3-3x+a=0[/tex], [tex]a\ne 0[/tex]
Да положим
[tex]-a=\lambda ^3+\frac{1}{ \lambda^3 } =(\lambda +\frac{1}{\lambda } )((\lambda +\frac{1}{\lambda } )^2-3)=(\lambda +\frac{1}{\lambda })^3-3(\lambda +\frac{1}{\lambda })[/tex]

Тогава у-то добива вида:

[tex]x^3-(\lambda +\frac{1}{\lambda })^3-3x+3(\lambda +\frac{1}{\lambda })=0[/tex], което се разлага лесно на множители...
После мисля, че е ясно.

[mkmarinov]

Всъщност горното решение важи само при [tex]|a| \ge 2[/tex]. Ако не, полагането [tex]-a=\lambda^3+\frac{1}{\lambda^3}[/tex] няма смисъл. Но от друга страна, при [tex]|a| \le 2[/tex] полагането с косинуса винаги носи поне едно решение.

[ismarti]

Извинете за оффтопика, но задачата за кой клас е горе-долу?

[atnast]

По-скоро 11-ти клас.