Интересно уравнение от висока степен

[someone]

[tex](x+5)^2[/tex][tex](3x+2)(x+1)[/tex] [tex]= 35[/tex]
Това уравнение е дадено към темата "Полиноми на една променлива" в учебник за профилирана подготовка за 9 клас.
То е единственото, което не успях да реша, и от доста време ме мъчи.
Ще се радвам, ако някой ми помогне.
Не тръгвайте да търсите рационални корени - с непосредствена проверка със схемата на Хорнер установих, че няма.

ПП: Пиша в тази тема, а не в темата за 9 клас, защото мисля, че повече хора ще го видят.

[ganka simeonova]

Аз го въртях отвсякъде, но нищо не излезе. И със система пробвах, но пак е тегаво. Да не би да има грешка в задачата?

Би ли пуснал отговрите, ако има такива в учебника?

[Mr.G{}{}Fy]

Някой може ли да даде приблизителни отговори ? Смисъл с някаква програма изкарани

[alexander_ivanov]

с wolfram изкарах:

[tex]x = -\frac{35}{12 } + \frac{1}{12 }.\sqrt{(209+\frac{5776}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(83711+3i\sqrt{559579335})}}+2.2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{83711+3i\sqrt{559579335}} ) +
\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{209}{18}-\frac{1444}{9\sqrt[3]{\frac{1}{2}(83711+3i\sqrt{559579335})}-\frac{1}{9}(\frac{1}{2}(83711+3i))} }[/tex]

[alexander_ivanov]

уфф не се побира

[alexander_ivanov]

ето скрийншот

MSP30319hb55a0f473c15i0000104gb3a9fg12h293.gif (11.22 KiB) Прегледано 2251 пъти

[someone]

Благодаря много за бързите мнения на всички.
Да, отговори има в учебника (това е учебникът за профилирана подготовка за 9 клас на Регалия 6 с автори Стефан Додунеков и колектив) и те са [tex]\frac{-5\pm \sqrt{21} }{6}[/tex]
Ето моите разсъждения:
Когато не откривам рационални корени на уравнение от четвърта степен, това, което правя аз, е да се мъча да го представя като произведение на две квадратни, които очевидно би трябвало да имат ирационални корени, щом рационални не сме намерили. Примерно се опитвам да представя полином от четвърта степен във вида
[tex](ax^{2} + bx + c)(dx^{2} + ex + f)[/tex], след което изравнявам коефициентите пред всяка степен в нормалния му вид и правя система. Разбира се, това е система от висока степен и не се мъча да я решавам, а обикновено нещата излизат от [tex]cf[/tex] = свободния член, като пробвам с цели стойности за [tex]c[/tex] и [tex]f[/tex], удовлетворяващи това равенство, и след известни проверки ги откривам. Има две подобни задачи на тази в същата тема, при което това работи - нямаме рационални корени, не намираме подходящо полагане и затова използваме този трик + проверки само за цели коефициенти и нещата взимат, че излизат. Тук обаче не става така.
Търсим коефициентите в следното представяне: [tex](3x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d) = 3x^{4} + 35x^{3} + 127x^{2} + 145x + 15[/tex].
Тоест трябва да са изпълнени следните 4 равенства: [tex]3c+a=35[/tex], [tex]3d+ac+b=127[/tex], [tex]ad+bc=145[/tex], [tex]bd=15[/tex]
С цели стойности за [tex]b[/tex] и [tex]d[/tex], както казах, не става.
Когато се отказах, тръгнах да търся коефициентите чрез отговорите, и намерих [tex]a = 5[/tex], [tex]b = \frac{1} {3}[/tex] и спрях дотук. Ядоса ме, че коефициентът [tex]b[/tex] е рационален, и въпросът, който искам да задам в тази тема, е какво правим, когато не се случи търсените коефициенти да са цели. Сега е лесно, но ако е на състезание не може да очакват да търсим до безсъзнание и така да ни "хрумне" да пробваме с [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Хайде, за цели числа е логично да проверяваме, но за рационални... Няма логика и смисъл, можем да си генерираме до безкрай и то безуспешно...
Това обаче исках да питам по темата до преди малко. Сега, когато почнах да пиша мнението си, и да обяснявам подхода си, реших да напиша всичките коефициенти, които съм намерил, чрез отговорите, за бъда по-конкретен. И какво се оказа - тъй като аз бях намерил само [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] и бях спрял, ядосан от факта, че [tex]b[/tex] е рационално число, сега, когато реших да намеря всичките коефициенти, които излизат от отговорите, установих, че отговорите са грешни. С дадените отговори могат да бъдат намерени следните коефициенти:
[tex]\frac{-5 \pm sqrt{21}}{6}[/tex] са нулите на [tex]3x^{2}+5x+\frac{1}{3} \Right a = 5[/tex],[tex]b = \frac{1}{3}[/tex]
От [tex]3c+a=35[/tex] и [tex]bd=15[/tex], веднага намираме [tex]c=10[/tex] и [tex]d=45[/tex]
Да, обаче тези коефициенти не удовлетворяват четвъртото равенство [tex]ad+bc=145[/tex]
Чудих се, чудих се, дали аз не греша в сметките, но не. И когато вече като последна инстанция реших да заместя директно в уравнението с дадените отговори, се оказа, че не излизат. Тоест действително отговорите са грешни. Благодаря на г-жа Симеонова, че ме наведе на мисълта, че отговорите са грешни, аз никога не предвиждам този случай и се блъскам (понякога) излишно . Въпросът ми какво правим, ако коефициентите са рационални, все още остава интересен, но вече необходимостта от него леко се обезсмисли - винаги можем да си останем с надеждата, че при следващата задача от този тип коефициентите ще излязат цели числа, а тук бяха рационални(естествено някои от тях, ама точно тия, от които тръгваме), просто защото задачата беше грешна . Разбира се, ако някой я реши и в този й вид, ще му бъда много благодарен, но ми мирише на комплексни корени, както виждам и от резултатите на програмата... Още веднъж, благодаря много на всички!
ПП1: Аз даже се блъсках да решавам системата за коефициентите, която се получи [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] и [tex]d[/tex], която е система от четвърта степен. Стигнах до система две квадратни уравнения относно [tex]d[/tex] с параметър [tex]c[/tex]. Тоест сведохме задачата до търсене на общите корени на две квадратни параметрични уравнения, която в общия случай е тежка задача, особено с тези гадни сметки, които се получават в нашия случай (естествено, има и по-лесни нейни варианти като задачи 302-304 от с.93 от сборника на Коста Коларов по алгебра, издание 2009 г).
ПП2: Прощавайте за извънредно дългото мнение!

[ganka simeonova]

someone, няма проблем за дългото мнение. Напротив, от него явно се вижда, че се занимаваш с математика и искаш да разбираш нещата
Само една отметка- много задачи има в Регалия, които или имат сбъркан отг. , или сбъркано условие:)

[Mr.G{}{}Fy]

someone, няма проблем за дългото мнение. Напротив, от него явно се вижда, че се занимаваш с математика и искаш да разбираш нещата
Само една отметка- много задачи има в Регалия, които или имат сбъркан отг. , или сбъркано условие:)

Йеп.В случая авторите са имали предвид в първата скоба,която е на квадрат да е 6x-5.А относно решаването и в този вид.Може ли някой с някаква програма да даде приблизителни решения без тези имагинерни работи и т.н.

[ganka simeonova]

someone, няма проблем за дългото мнение. Напротив, от него явно се вижда, че се занимаваш с математика и искаш да разбираш нещата
Само една отметка- много задачи има в Регалия, които или имат сбъркан отг. , или сбъркано условие:)

Йеп.В случая авторите са имали предвид в първата скоба,която е на квадрат да е 6x-5.А относно решаването и в този вид.Може ли някой с някаква програма да даде приблизителни решения без тези имагинерни работи и т.н.

Приблизителни в интервал, да. но иначе, ако са ирационални и не могат да се намерят алгебрично- не.
Иначе винаги може да се установи интервал с достатъчно малка дължина, в която да се зкаключават корените.

[ptj]

Someone,

В задачата очевидно има грешка, но тъй като питаш за неща извън традиционния училишен материал ще напиша няколко думи по темата ти. По-общо въпроса ти е за "Неразложимост на полином над поле". Не съм сигурен дали ще разбереш всичко, което ще намериш по темата в Нет-а, затова ще ти кажа кое може да използваш.

1.) Теорема на Безу, Теорема на Гаус и Правило на Хорнер .http://stancho.roncho.net/HighMath/Hor/Hor.html

2.)Има теорема гласяща, че ако един полином с цели коефициенти е разложим (неразложим) над полето рациналните числа, то той е разложим (неразложим) над полето на целите числа и обратното.

Преведено на разбираем език последното означава, че за полином в цели коефициенти е достатъчно да провериш дали съществува негово разлагане на 2 полинома с цели коефициенти.

Сега за конкретния пример на полином от 4-та степен е удачно с цитираната Теорема на Гаус да провериш за наличието на рационални корени. Едва ако няма остава варианта за разложимост на два многочлена от 2-ра степен, които търсиш с метода на неопределениете кефициенти (както си писал). Ако и тук не се получава, то полинома ти е неразложим над полето на целите числа (рационалните също); т.е. ако се разлага на два полинома с цели (рационални) коефициенти, то степента на единия от тях ще е нулева (константа).

Има и други, по-силни критерии, но те едва ли ще са ти необходими на състезание.

[Mr.G{}{}Fy]

Добре,тогава може ли да ми дадете някакъв интервал.А относно метода на неопределените коефициенти,ако получим,че някой коефициент не е цяло число можемда зарежем случая и да кажем,че в този случай полиномът е неразложим?И също така,ако пред най-високата степен коефициентът е 4 например.трябва да пробваме и (2x^2+kx+p)(2x^2 +tx+s) и (4x^2+kx+p)(x^2 +tx+s) нали?Като в случая,ако от първия случай излязат 4 корена можем да не проверяваме 2-рия.Бъркам ли някъде,че и аз имам малки съмнения с този метод.И също така,ако при умножението на свободните членова и получа ps и например нека ps=10 трябва да пробвам (1;10),(10,1),(-1,-10) и т.н. и то става прекалено сложно особеноа,ако корените не цъфнат още при първите 1-2 случая.Та няма ли някакъв по-лесен метод.Или пък може ли би нещо като хитринка? Извинявам се,за огромния брой въпроси.
П.П. В този сайт,който ptj е постнал,тази там наречена теорема на Гаус в училище не се ли учи,че е теорема на Безу?Или се бъркам?Тъй като това се учи в училище,а поне в моя учебник не съм виждал Гаус да е споменат в този урок.

[ganka simeonova]

У-та от висока степен са сложни в повечето случаи и нерешими алгебрично.
Лично аз не смятам, че е здравословно, да се вманиачаваме и търсим на всякаква цена решения.

[ptj]

Докато бях ученик и аз знаех само за Теорема на Безу, но по-късно се оказа, че съм използвай нея и тази на Гаус. В посочения сайт ги има и двете.

Май не си разбрал напълно написаното то мен, затова пак ще ти обясня с пример.

Нека имаш полином от четвърта степен с цели коефициенти :
[tex](1): Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=0[/tex].

1.) Търсиш разлагане, в което ти участва полином от първа степен, т.е. да се дели на [tex](Qx-P)[/tex].
Тогава [tex]\frac{P}{Q }[/tex] е корен на (1), а от теоремата на Гаус следва, че [tex]P/E[/tex] и [tex]Q/A[/tex].
Знаейки горното, изчерпваш всички варианти за възможни рационални корени.

2.) Ако няма нито един рационален корен, то ти остава случая- (1) да е разложим на два полинома от 2-ра степен.
Съгласно спомената в предишното ми мнение теорема, искаш всеки от тях да е с цели коефициенти. Тях ги търсиш с метода на неопределените коефициенти (система- трябва ти едно решение).

3.) Ако в 1.) и 2.) не си стигнал до положителен резултат, то разглеждания полином (1) е неразложим.

П.П. Тази теория обикновено се използва само от състезатели (не и в училище), но често е свързана със сметки и загуба на време...

[Mr.G{}{}Fy]

Настина много пъти сметката са доста неприятни особено с метода на неопределените коефициенти.Хубавото е,че ако намерим разлагане на 2 полинома ни стига,а пък и ако получим,че някой от коефициентите е някаква дроб можем направо да зарежем случая.Това не го бях чувал,но определено е полезно.А относно тази теорема на Гаус аз се бях объркал,че в моя учебник е писана като теорема на Безу,а то просто е доказано това нещо без да пише кой го е измислил.
И ако един въпрос: има ли някакъв начин да докажем,че някой полином е неразложим без метода на неопределените коефициенти?Питам за това,тъй като преди бях пуснал една система в кандидатстудентските задачи и там се получаваха едни гадорийки и аз докато докажа,че няма решение...
Благодаря,за отделено внимание.

[grav]

Приблизителни в интервал, да. но иначе, ако са ирационални и не могат да се намерят алгебрично- не.

Понеже уравнението е от четвърта степен, те могат да се намерят алгебрично.

[ganka simeonova]

Приблизителни в интервал, да. но иначе, ако са ирационални и не могат да се намерят алгебрично- не.

Понеже уравнението е от четвърта степен, те могат да се намерят алгебрично.

Реши ми у-то [tex]x^4-x-22=0[/tex]

[grav]

Реши ми у-то [tex]x^4-x-22=0[/tex]

Защо?

[ganka simeonova]

Приблизителни в интервал, да. но иначе, ако са ирационални и не могат да се намерят алгебрично- не.

Понеже уравнението е от четвърта степен, те могат да се намерят алгебрично.

Защото според теб корените могат да се намерят алгебрично.

[grav]

А според теб не могат ли?! Съмнявам се, че не знаеш, че уравнения от четвърта степен са решими в радикали. Заяждаш ли се, или просто не можеш да търпиш малки корекции? Или пък наистина не знаеш? Мисля, че по твое време във ФМИ и учетелския профил са учили теория на Галоа.

[int]

Уравнение от четвърта степен не могло да се реши алгебрично, ааахахаха. И това го казва даскал по математика, при това се опъва да спори. То дори не е нужно да си учил теория на Галоа за да го знаеш това. То дори от обща култура се знае. Какви ли ще бъдат учениците на въпросната госпожа, които ще постъпват в университетите, ай-ай-ай, не ми се мисли....

пп Сори за спама, ама не се сдържах.

[ganka simeonova]

Е, никой ли няма да го реши?
Или май ви е в повече самочувствието! Интересно, как от обща култура знаеш такива неща!
Смешно е да твърдите, че методът за решаване на у-я от 4 степен бил здравословен и то за ученици от среден курс!
Освен това, когато аз съм изучавала теорията на Галоа, повечето от вас са били "под метлата зад вратата"!
Чакам решение!

[int]

Ама Вие наистина не искате да спрете да се излагате. Да ви призная честно доста ме развеселихте.
Съмнявам се, че някой разумен човек ще се хване ви решава уравнение от четвърта степен, за да ви убеждава.
Докато Вие се тревожите за здравословното състояние на своите ученици и ги залъгвате с безумни изявления, хората доста приказки са разказали на средношколци по въпросната тема.
За справка, например тук: http://www.fmclass.ru/math.php?id=49bbd5a3c3676
Това по отношение на общата математическа култура.
Иначе конкретно за уравнения от четвърта степен, всеки може да прочете например тук: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%A0%D0%98
Разбира се инфо по въпроса може да се намери на милион други места.

[grav]

Смешно е да твърдите, че методът за решаване на у-я от 4 степен бил здравословен и то за ученици от среден курс!

Никой не е изказвал такова твърдение. Само казахме, че уравненията от четвърта степен са решими алгебрично.

Освен това, когато аз съм изучавала теорията на Галоа, повечето от вас са били "под метлата зад вратата"!

Не личи. А къде сме били не бъди толкова сигурна.

Чакам решение!

Аз също чакам. Чакам отговор на въпроса ми. Според теб уравненията от четвърта степен решими ли са алгебрично или не?

п.с. Както обикновено разговорите в интернет форумите стигат до безсмислено препиране и нарушаване на добрия тон.
п.с.с Гнаке, защо приехте толкова навътре малката ми забележка! Още повече, че е коректна и само прави уточнение.

[ganka simeonova]

1) Ако трябва да сме точни, да- теоретично са решими алгебрично- и у-та от 4 степен и тези от 3 степен. В радикали!
2) Относно това у-е постът ми бе отправен към ученик, който надали е сънувал теорията на Галоа!
В училищната математика не се изучават, как се решават произволни уравнения у-я от 3 и 4 степен ( и не е редно, поне според мен).
3) По тази причина в среден курс такива общи у-я от 3 и 4 степен ( с някои изключения) не се коментират и те не се решават алгебрично!
4) Относно учениците, които кандидатстват, само някой "болен" мозък може да им прасне такова у-е, но слава богу, досега не се е случвало!
5) Не мисля, че се излагам- това си е ваше персонално мнение. Явно още не сте преглътнали факта, че ви изтрих поста от " Задача на седмицата"
6) Инт, ако трябва да се заяждаме, погледни си поста на лог. у-е.
7) По- добре си дерзайте във Висшата математика!