Комплексно уравнение

[mkmarinov]

Да се представят в алгебричен вид корените на уравнението
[tex](z+i)^n+(z-i)^n=0[/tex]

[nikko]

[tex](z+i)^n+(z-i)^n=0\Leftrightarrow (z+i)^n=-(z-i)^n\Leftrightarrow (\frac{z+i}{z-i})^n=1\Leftrightarrow \frac{z+i}{z-i}=\sqrt[n]{-1}\Leftrightarrow z+i-\sqrt[n]{1}(z-i)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow z(1-\sqrt[n]{1})+i(1+\sqrt[n]{-1})=0\Leftrightarrow z=i.\frac{1+\sqrt[n]{-1}}{\sqrt[n]{-1}-1}[/tex]
според формулите на Крамер за корен n-ти заместваш [tex]\sqrt[n]{-1}=\cos\frac{\pi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{n}[/tex], [tex]k=0,\dots, n-1[/tex]
[tex]z_k=i.\frac{1+\cos\frac{\pi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{n}}{-1+\cos\frac{\pi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{n}}[/tex]

Остава да си умножиш и разделиш с комплексно спрегнатото на знаменателя ([tex]-1+\cos\frac{\pi+2k\pi}{n}-i\sin\frac{\pi+2k\pi}{n}[/tex]) и ще получиш алгебричния вид на n-те решения

[grav]

Изпуснал си на няколко места минус под корена, и не са формули на Крамер, а не Моавър.

[nikko]

Прав си, случава се. А ти по-добре да беше написал решение, вместо да ме критикуваш.

[grav]

Не те критикувам, правя уточнение. Бях тръгнал да пиша решение, но ти ме изпревари.