Ирационално уравнение

[magi_066]

[tex]3sqrt{x^{2 }-9} +4sqrt{x^{2 }-16}+5sqrt{x^{2 }-25}= \frac{120}{x }[/tex]

[martin123456]

отдясно расте, оттляво намалява. значи макс едно репение
x=25=>3.4+4.3=120/5. значи =5

[martosss]

Това би трябвало да може да се реши с някое неравенство, но в момента не мога да се сетя кое... тия неща ми изглеждат много странно навързани... примерно от СА СГ имаме
[tex]\frac{9+(x^2-9)}{2}\ge 3\sqrt{x^2-9}[/tex]
Оттук
[tex]\frac{x^2}{2}\ge 3\sqrt{x^2-9}[/tex]
Аналогично и за другите две.
Така получаваме
[tex]3sqrt{x^{2 }-9} +4sqrt{x^{2 }-16}+5sqrt{x^{2 }-25}\le \frac{3x^2}{2}[/tex]
Получаваме [tex]\frac{3x^2}{2}\ge \frac{120}{x}[/tex]
Оттук [tex]x^3\ge 80[/tex]
В случая това не става, защото още от радикалите можем да направим дори по-голямо ограничение - x?5. И въпреки това съм сигурен, че може да се докаже по някакъв начин с такова неравенсттво и да се стигне до x??125 или нещо подобно, откъдето да следва, че x=5 е единствено решение Но просто не ми се занимава да си играя да го търся, но трябва да има нещо такова.

[pipi langstrump]

Допустими стойности [tex]x\ge 5[/tex]
[tex]x\ge 5[/tex]
[tex]x^2\ge 5^2[/tex][tex]\Rightarrow 5\sqrt{x^2 - 5^2} \ge 0[/tex]

[tex]x^2 - 3^3 \ge 5^2 - 3^2 = 4^2[/tex]
[tex]\sqrt{x^2 - 3^2} \ge 4[/tex]
[tex]3\sqrt{x^2 - 9} \ge 12[/tex]

[tex]x^2 - 4^2 \ge 5^2 - 4^2 = 3^2[/tex]
[tex]\sqrt{x^2 - 4^2} \ge 3[/tex]
[tex]4\sqrt{x^2 - 16} \ge 12[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]3\sqrt{x^2 - 9} \ge 12[/tex]
[tex]4\sqrt{x^2 - 16} \ge 12[/tex]
[tex]5\sqrt{x^2 - 25} \ge 0[/tex]

[tex]3\sqrt{x^2 - 9} + 4\sqrt{x^2 - 16} + 5\sqrt{x^2 - 25} \ge 24[/tex]

От друга страна

[tex]x\ge 5[/tex]
[tex]\frac{1}{x} \le \frac{1}{5}[/tex]
[tex]\frac{120}{x} \le \frac{120}{5} = 24[/tex]

Получихме, че лявата страна на уравнението е по-голяма или равна на 24, а лявата - по-малка или равна на 24. Следователно двете са равни само когато са равни на 24, т.е. при x = 5.

[martin123456]

от ДМ: [tex]x \geq 5[/tex]=>лявата страна е [tex]\geq 3.4+4.3=24[/tex]=>дясната страна е [tex]\frac{120}{x} \geq 24[/tex]=>[tex]x \leq 5[/tex]. => [tex]x=5[/tex]

[martosss]

Да, ето това е хубавото решение. Браво и на двамата.