Виет

[ganka simeonova]

Много моля, по темата да пишат само 9-класници ( ако искат и могат)

Дадено е у-то [tex]x^2-2(m^2-4)x-m^2+2m=0[/tex]
За кой стойности на [tex]m\in R[/tex], уравнението има
а) два противоположни корена
б) два реципрочни корена

[mail_dinko]

11-класник съм, но Виет го харесвам ...
не знам обаче колко ми е вярно решението
моля да ми кажете къде греша

[amsara]

Дискириминантата трябва да е > 0, за да си гарантираме наличието на два различни реални коренa.
[tex]D=m^4-8m^2+16+m^2-2m=m^4-7m^2-2m+16=(m-2)(m^3+2m^2-3m-8) =>m \ne 2[/tex] В противен случай ще имаме един повтарящ се реален корен.
[tex]D>0[/tex]
[tex]x_{1}=-x_{2}=>x_{1}+x_{2}=0[/tex]
[tex]0=2(m^2-4)<=>(m-2)(m+2)=0 <=>m=\pm 2[/tex]
[tex]x_{1}.x_{2}=-x_{1}^2[/tex]
[tex]-x_{1}^2=2m-m^2 <=>x_{1}^2=m^2-2m <=>x_{1}=\sqrt{m(m-2)}[/tex]
[tex]m(m-2)\ge 0 =>m \in (-\infty ,0] \cup [2 , +\infty ][/tex] Но [tex]m\ne 2[/tex]
[tex]=>m=-2[/tex]
Нещо не е точно така, знам това. Но все още не сме решавали параметрични с Виет.И си мисля, че първата ми стъпка с търсене на интервал за параметъра за Д положително число е правилна.Но лошото е, че не мога да разложа втория множител от това Д, тоест полинома от третата степен в скобата и после да си реша неравенството като хората, от което ще имам допустимите стойности за m.

[amsara]

По повод реципрочните корени имаме
[tex]x_{1}.x_{2}=1 <=> 1=2m-m^2 <=>m^2-2m+1=0 <=>(m-1)^2=0, m= 1[/tex]
Но интервалите от дискриминантата пак ги нямам, аналогично на първото подусловие.

[strangerforever]

Дискириминантата трябва да е > 0, за да си гарантираме наличието на два различни реални коренa.
[tex]D=m^4-8m^2+16+m^2-2m=m^4-7m^2-2m+16=(m-2)(m^3+2m^2-3m-8) =>m \ne 2[/tex] В противен случай ще имаме един повтарящ се реален корен.
[tex]D>0[/tex]
[tex]x_{1}=-x_{2}=>x_{1}+x_{2}=0[/tex]
[tex]0=2(m^2-4)<=>(m-2)(m+2)=0 <=>m=\pm 2[/tex]
[tex]x_{1}.x_{2}=-x_{1}^2[/tex]
[tex]-x_{1}^2=2m-m^2 <=>x_{1}^2=m^2-2m <=>x_{1}=\sqrt{m(m-2)}[/tex]
[tex]m(m-2)\ge 0 =>m \in (-\infty ,0] \cup [2 , +\infty ][/tex] Но [tex]m\ne 2[/tex]
[tex]=>m=-2[/tex]
Нещо не е точно така, знам това. Но все още не сме решавали параметрични с Виет.И си мисля, че първата ми стъпка с търсене на интервал за параметъра за Д положително число е правилна.Но лошото е, че не мога да разложа втория множител от това Д, тоест полинома от третата степен в скобата и после да си реша неравенството като хората, от което ще имам допустимите стойности за m.

Не е нужно да ограничаваш D.

Имаш:

[tex]x_1.x_2 = -x^2 \le 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} \le 0 \Leftrightarrow c.a \le 0[/tex]

[tex]\Rightarrow D = b^2 - 4ac \ge 0[/tex], понеже [tex]b^2 \ge 0[/tex] и [tex]-4ac \ge 0[/tex].

Единствено трябва да видиш дали не е 0, но е 0 точно когато b^2 = 0 и -4ac = 0, което се опростява лесно.

[amsara]

Много хитро. Но с него не ти отпада вариантът 0 за Д или.. А при Д =0 корените няма да са два различни, а един повтарящ се. А и разлагането не е ли все пак нужно, понже от първия множител излиза, че при стойност на параметъра 2, подкоренната величина ще ти е точно 0, а това, както уточнихме вече , не върши работа.

ПП Ти междувременно отговори на питането ми.

[ganka simeonova]

Сара, нека да разсъждаваме простичко. 1) Да, НУ, за да имаме два противоположни корена е [tex]m=\pm 2[/tex]
Тогава може да разсъждаваме по три различни начина

1) Д>0. Обаче Д е тегава. Един 9-класник трудно ще реши това неравенство. Значи може да заместим с + или -2 и да видим кога Д ще стане по-голяма от 0.

2) Без Д. Ако искаме корените да са противоположни, трябва да поставим и условието с/а<0. Тогава ще видим, кои или коя от тези стойности превръщат с/а<0.

3) Направо да заместим с + или -2 в у-то, за да видим в какво ще се превърне, т.е. директна проверка.

[amsara]

Благодаря, Госпожо Аз за директно заместване се сетих, ама исках да видя има ли някакъв номер с дискриминанатата, за който не се сещам.Явно на ниво 9 клас няма.

[ganka simeonova]

Благодаря, Госпожо Аз за директно заместване се сетих, ама исках да видя има ли някакъв номер с дискриминанатата, за който не се сещам.Явно на ниво 9 клас няма.

Не само на ниво 9 клас няма. Понякога е трудно човек да реши дадена система от неравенство и у-е. И когато не може да реши неравенството, решава у-то и прави проверка с корените в н-то. Ако даден корен го удовлетвори=> е решение, иначе- не. Днес решавах такива задачи с моите 9-класници.

[amsara]

Ние сме явно по-назад с материала. Другата седмица ще правим тепърва контролно на формулите на Виет.Дотогава може да се появят и параметрични уравнения с тях.Досега поне не сме решавали.

[strangerforever]

И една лесна от мен, ако може:

Ако a, b, c са страни на триъгълник, да се докаже, че уравнението няма реални корени:

[tex]b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0[/tex]

[ganka simeonova]

Ние сме явно по-назад с материала. Другата седмица ще правим тепърва контролно на формулите на Виет.Дотогава може да се появят и параметрични уравнения с тях.Досега поне не сме решавали.

Няма значение.
Само трябва да се мисли
Ето още една задача.
За кои стойности на [tex]p\in R[/tex], у-то

[tex]x^4-2px^2-2p-1=0[/tex] няма реални корени.

[ganka simeonova]

И една лесна от мен, ако може:

Ако a, b, c са страни на триъгълник, да се докаже, че уравнението няма реални корени:

[tex]b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0[/tex]

Ахахахаа, Анубис, 8 клас )))

[mkmarinov]

И една лесна от мен, ако може:

Ако a, b, c са страни на триъгълник, да се докаже, че уравнението няма реални корени:

[tex]b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0[/tex]

[tex]D=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)[/tex]

[strangerforever]

И една лесна от мен, ако може:

Ако a, b, c са страни на триъгълник, да се докаже, че уравнението няма реални корени:

[tex]b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0[/tex]

Ахахахаа, Анубис, 8 клас )))

:Р

В 9-и клас ли се учат биквадратни?

[amsara]

И една лесна от мен, ако може:

Ако a, b, c са страни на триъгълник, да се докаже, че уравнението няма реални корени:

[tex]b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0[/tex]

Бърза проба преди лягане, че все пак утре сутрин съм и на даскало.
За да няма реални корени уравнението, е достатъчно да докажем, че Д<0.
[tex]D=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)((b^2+c^2-a^2-2bc)=[/tex]
[tex]=[(b+c)^2-a^2].[(b-c)^2-a^2]=(b+c-a)(b+c+a)(b-c-a)(b-c+a)[/tex]
Тук идва ред на това да се сетим, че това са страни на триъгълник, че са положителни числа и че за тях важат неравенствата на триъгълника.
От 4 множителя, три са положителни и само един, третият, е отрицателен.Значи и произведението им е <0.
D<0 - няма реални корени
Но това е решение с материал от миналата година - с осмокласен.Друг вариант с деветокласен ще мисля утре.Тогава ще погледна и задачата на Госпожата.

[Mr.G{}{}Fy]

Защо ти е деветокласен материал Този начин е достатъчно лесен.

[Mr.G{}{}Fy]

И между другото,когато сара е решила системата (още в първия пост) -тази система състояща се от формулите на виет + това,че корените са противоположни числа,тя е намерила такива числа m,при които [tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a }[/tex] и [tex]x_1.x_2=\frac{c}{ a}[/tex],а от обратната теорема на Виет,ако намерим такива числа [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex],които да изпълняват това условие.то те са решение на уравнението.Така,че май може да не проверяваме дискриминантата и това написаното от нея е напълно достатъчно.

[amsara]

За втората задача от Госпожата, тази с биквадратното, ми излиза, че за всяка стойност на параметъра р уравнението има реални корени.
Полагаме [tex]x^2=y =>y^2-2py-(2p+1)=0[/tex]
За да е без реални корени уравнението, то трябва дискриминатата му да е отрицателна.Тоест търсим за коя стойност на р D<0. По съкратената формула
[tex]D=p^2+2p+1=(p+1)^2[/tex], [tex](p+1)^2 \ge 0[/tex]за всяко р
Следователно дискиминантата никога не е отрицателна и няма такова р, за което квадратното уравнение да няма реални корени.Тоест y1 и y2 са реални числа, оттам и х1 ,х2, х3 и х4 са такива.
Вярно ли е ?Понеже ми изглежда твърде лесно за да е вярно.

[ganka simeonova]

За втората задача от Госпожата, тази с биквадратното, ми излиза, че за всяка стойност на параметъра р уравнението има реални корени.
Полагаме [tex]x^2=y =>y^2-2py-(2p+1)=0[/tex]
За да е без реални корени уравнението, то трябва дискриминатата му да е отрицателна.Тоест търсим за коя стойност на р D<0. По съкратената формула
[tex]D=p^2+2p+1=(p+1)^2[/tex], [tex](p+1)^2 \ge 0[/tex]за всяко р
Следователно дискиминантата никога не е отрицателна и няма такова р, за което квадратното уравнение да няма реални корени.Тоест y1 и y2 са реални числа, оттам и х1 ,х2, х3 и х4 са такива.
Вярно ли е ?Понеже ми изглежда твърде лесно за да е вярно.

Сара, би ли ми решила у-то [tex]x^4+4x^2+3=0[/tex]

[amsara]

Да, видях си грешката.Това, че y1 и y2 са реални корени, не значи, че са положителни, а оттам не значи ,че корените на биквадратното са реални.Както в случая с дадения пример.Корените при полагането са -1,-3 Което при връщане към полагането ... Тогава обаче има и друго решение.
[tex](x^4-1)-2p(x^2+1)=0 <=> (x^2+1)(x^2-1)-2p(x^2+1)=(x^2+1)(x^2-2p-1)=0[/tex]
Очевидно уравнението, което получаваме при приравняването на първи множител на 0, е с ирационални корени.Оcтава ни втория множител, при който корените вече зависят от p
[tex]x^2=2p+1; 2p+1 \in R (x-\sqrt{2p+1})(x+\sqrt{2p+1)}=0; 2p+1\le 0 <=>p\le \frac{-1}{ 2}[/tex]Следователно биквадратното уравнение има два имагинерни, които независимо от стойността на р са винаги \pm i и още два, пак имагинерни - при показания интервал за р.При този, който бях написала аз, с обратен знак, има и два реални.

Има ли логика в това решение ?

[ganka simeonova]

Нали искаме у-то да няма релни корени=>-2р-1>0=>р<-1/2

[amsara]

Във втория вариант сгреших в последния ред.Така написано излизаше, че търся за кои стойности на р уравнението има все пак и два реални корени, при вече доказани два имагинерни.Неравенството трябваше да е с <0 при мен, тъй като разглеждах подкоренната величина слез разлагането на множители.
Но иначе принципът с разлагането беше верен, така ли

[ganka simeonova]

Сара, в тази задача случайно успя да разложиш Иначе, кажи ми, кога едно биквадратно у-е няма реални корени?

[amsara]

Когато корените на квадратното уравнение, получено след полагането, са отрицателни числа.