Да се реши в естествени числа уравнението

[ganka simeonova]

Да се реши в естествени числа:
[tex]\frac{x}{x+2 } +\frac{y}{y+2 } +\frac{z}{ z+2} =2[/tex]

[mkmarinov]

БОО [tex]x \ge y \ge z[/tex]. Ако [tex]z>4[/tex], лявата страна е по-голяма от 2, следователно имаме 5 възможни стойности за z:
1)z=0: [tex]\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2[/tex]. Двете събираеми са строго по-малки от 1 и равенство е невъзможно.
2)z=1: [tex]\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=\frac{5}{3}[/tex], което се разлага до
[tex](x-4)(y-4)=36[/tex]
От този случай излизат решенията [tex](40,5,1), (22,6,1), (16, 7, 1), (13,8,1), (10, 10, 1)[/tex]
3)z=2: [tex]\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=\frac{3}{2}[/tex]. По същият начин се разлага до
[tex](x-2)(y-2)=16[/tex]
Решенията тук са [tex](18,3,2), (10,4,2), (6, 6, 2)[/tex]
4)z=3: [tex]\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=\frac{7}{5}[/tex]. То се разлага до
[tex](3x-4)(3y-4)=100[/tex]
Единственото решение тук е [tex](8,5,3)[/tex]
5)z=4: [tex]\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=\frac{4}{3}[/tex], което се разлага до
[tex](x-1)(y-1)=9[/tex]
Единствено решение тук е [tex](4,4,4)[/tex]

Решения на уравнението са [tex](40,5,1), (22,6,1), (18,3,2), (16, 7, 1), (13,8,1), (10, 10, 1), (10,4,2), (8,5,3), (6, 6, 2), (4,4,4)[/tex] и всичките им пермутации.

[Mr.G{}{}Fy]

Какво е БОО?Иначе общо взето,първият ред решава почти цялата задача.

[strangerforever]

Какво е БОО?Иначе общо взето,първият ред решава почти цялата задача.

Без ограничение на общността, също и WLOG.

[ganka simeonova]

Благодаря, Мартине