Параметрично уравнение

[Aneliya]

Дадено е уравнението [tex]x^{2} - 2(m+1)x - m^_{2} - 2m - 2 = 0[/tex], където m e реален параметър.
а) да се докаже, че за всяка стойност на m уравнението има корени с различни знаци.
б) Да се намерият стойностите на m, за които разликата от корените на даденото уравнение е равна на 6.

[Xixibg]

Дадено е уравнението [tex]x^{2} - 2(m+1)x - m^{2} - 2m - 2 = 0[/tex], където m e реален параметър.
а) да се докаже, че за всяка стойност на m уравнението има корени с различни знаци.
б) Да се намерият стойностите на m, за които разликата от корените на даденото уравнение е равна на 6.

а)[tex]x^{2} - 2(m+1)x - m^{2} - 2m - 2 = 0[/tex]
[tex]D=4m^2+8m+4+4m^2+8m+8= >0[/tex]
[tex]x_1.x_2=\frac{c}{a}=-(m^2+2m+2)=-(m+1)^2-1<0 ; =>x_1,x_2[/tex] са различни знаци
б)[tex](x_1-x_2)=6 ; =>(x_1-x_2)^2=36 ; =>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=36[/tex]
[tex]x_1+x_2=2(m+1) ; x_1.x_2=-(m+1)^2-1[/tex]
[tex]=>8(m+1)^2+4=36 ; =>(m+1)^2=4 ; =>(m-1)(m+3)=0 ; =>m_1=1 ; m_2=-3[/tex]

[Aneliya]

Благодаря. Ако може помощ и за тази задача:

При кои стойности на параметъра k уравненията [tex]x^{2} +kx + 1 = 0[/tex] и [tex]x^{2} + x + k = 0[/tex] имат един общ корен?

[mkmarinov]

Да предположим, че [tex]x_0[/tex] е такъв корен. Тогава [tex]x_0^2=-(kx_0+1)[/tex]. Заместваме в другото равенство:
[tex]-(kx_0+1)+x_0+k=0[/tex]
[tex]x_0(k-1)=k-1[/tex]
Откъдето получаваме, че или [tex]k=1[/tex], или [tex]x_0=1[/tex] е този корен. От първото директно излиза решение. От второто, заместваме в двата квадратни тричлена [tex]x_0=1[/tex]:
[tex]1+k+1=1+1+k=0[/tex], откъдето [tex]k=-2[/tex].

Забележка: тук не е споменато дали се изисква коренът да е реален. В случаят к=1 не е така. Ако се изисква коренът да е реален, трябва да се правят проверки с решенията, или да се постави условие дискримантите на двете уравнения да са неотрицателни.