Схема на хорнер

[sp0ta2]

Да се намери броят на реалните корени на уравнението [tex]x^3 - 6x^2 + 9x - 3 = 0[/tex]

Някой може ли да реши тази задача? Мисля, че се решава със схема на хорнер, опитах и не стана. Не изключвам възможността да има и друг начин за решаване, за който не се сещам. Трябва ми за до един час щото съм на урок.

[dim]

Не става със схема на Хорнер.
Може да се получи с тригонометрично полагане: [tex]x=4\sin^2{\alpha}[/tex]. Само трябва да се установи, че [tex]x\in [0,4][/tex]. Тогава у-то става: [tex]4\sin^2{\alpha}(4sin^2{\alpha}-3)-3=0[/tex]=> [tex]4\sin^2{3\alpha}-3=0[/tex]. Сега пак може да се приложи същата формула ако умножим двете страни на у-то по [tex]\sin{3\alpha}\ne0[/tex]=>[tex]\sin{6\alpha}=0[/tex] освен ако [tex]\sin{3\alpha}=0[/tex] не е решение и т. н.

[sp0ta2]

И все пак колко са решенията?

[dim]

Има 3 реални корена.

[Добромир Глухаров]

Разглеждаме функцията [tex]f(x)=x^3-6x^2+9x-3[/tex].
[tex]f'(x)=3x^2-12x+9 \Rightarrow f'(x)=0[/tex] за [tex]x_1=3[/tex] и [tex]x_2=1[/tex]
[tex]f(x_2)=1>0,\ f(x_1)=-3<0 \Rightarrow f(x)=0[/tex] има три реални корена в интервалите:
[tex](-\infty ;1),\ (1;3)[/tex] и [tex](3;+\infty )[/tex]

[Добромир Глухаров]

Ето и графика на функциятя [tex]f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x - 3[/tex]:

Графика на функция.png (15.66 KiB) Прегледано 1091 пъти

[dim]

Това е ОК, но тук въпросът не е за разпределението на корените. Важно е да се установи че са някъде в интервала (0,4), за да можем да направим субституцията. Не ни интересува колко са в тоя интервал, защото направо ги определяме.

[Добромир Глухаров]

Да се намери броят на реалните корени на уравнението [tex]x^3 - 6x^2 + 9x - 3 = 0[/tex]

Мисля, че съм решил тази задача. Иначе, ако трябва да се намерят самите корени, решението на dim е меродавно.

[dim]

Не съм видял, че се търси само броят на корените, а съм решил, че се търсят самите корени и съм си усложнил живота...съжалявам за недоразумението. Но въпреки всичко чрез намиране на конкретните корени пак определяме техният брой

[Добромир Глухаров]

Но въпреки всичко чрез намиране на конкретните корени пак определяме техният брой

В крайна сметка си прав !

[sp0ta2]

Мерси много. Помогнахте ми доста с тази задачка, защото в неделя съм на предварителен изпит в УНСС.