Едно неравенсво

[Iceage]

при кои a всяко решение на [tex]x-2\ge0[/tex]е решение и на [tex]\frac{x}{ax-1}\ge\frac{2}{x}[/tex]

[Гост]

[tex]\frac{x}{ax-1} \ge \frac{2}{x} \Rightarrow x(ax-1)(x^2-2ax+2) \ge 0[/tex] след нужното преобразуване.

Понеже [tex]x \ge 2[/tex] е решение на това неравенство, разделяме на [tex]x>0[/tex], получаваме

[tex](ax-1)(x^2-2ax+2) \ge 0[/tex].

Нека [tex]f(x)=(ax-1)(x^2-2ax+2)[/tex]. Тъй като [tex]f(x) \ge 0[/tex] за [tex]x \ge 2[/tex], то трябва [tex]f(x) \ge 0[/tex] да е

изпълнено поне за [tex]x=2[/tex].

[tex]f(2)=(2a-1)(6-4a) \ge 0 \Rightarrow (2a-1)(3-2a) \ge 0 \Rightarrow a \in \left [ \frac{1}{2}; \, \frac{3}{2} \right ][/tex].