неравенство sin/cos > x

[drago_prd]

Ако може по-подробно да ми обясните как се решава тази задача:
Да се докаже, че за всяко число х от интервала (0, ?/2) е изпълнено неравенството:
[tex]\frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}} > x[/tex]

[ganka simeonova]

Нека разгледаме функцията [tex]f(t)=\frac{sint}{\sqrt{cost} } -t[/tex], която очевидно е дефинирана и диференцируема за всяко [tex]t\in [0; \frac{\pi }{ 2} )[/tex].
[tex]f'(t)=\frac{cos^2t+1-2cost\sqrt{cost} }{2cost\sqrt{cost} } \ge \frac{2cost-2cost\sqrt{cost}}{ 2cost\sqrt{cost}}=\frac{2cost(1-\sqrt{cost}) }{ 2cost\sqrt{cost}}\ge0[/tex]
От тук следва, че [tex]f(t)[/tex] е растяща=>[tex]f(t)\ge f(0), t\in [0; \frac{\pi }{ 2} )[/tex].
Но [tex]f(t)=0=>\frac{sint}{\sqrt{cost} } -t\ge 0[/tex]
Равенство е на лице само за t=0.
Тогава в отворения интервал [tex]t\in (0; \frac{\pi }{ 2} )=>\frac{sint}{\sqrt{cost} } -t>0=>\frac{sint}{\sqrt{cost} } >t[/tex]

[drago_prd]

благодаря!!!

[mkmarinov]

Ето и едно друго, по-"елегантно" решение.
[tex]\frac{sinx}{\sqrt{cosx}}=\sqrt{sinxtgx} > \frac{2}{\frac{1}{sinx}+\frac{1}{tgx}}=\frac{sinx}{\frac{1+cosx}{2}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}=2tg\frac{x}{2}[/tex]
[tex]2tg\frac{x}{2}>x <=> tg\frac{x}{2}>\frac{x}{2}[/tex]