Ирационално неравенство

[Nuki]

[tex]\sqrt{x^2+3x+2}[\tex] + [tex]\sqrt{x^2 -x +1}[\tex] < 1

[Xixibg]

[tex]\sqrt{x^2+3x+2} +\sqrt{x^2 -x +1}< 1[/tex]
[tex]DM: x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;\infty )[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]x^2+3x+2+x^2 -x +1+2\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}<1[/tex]
[tex]=>2(x^2+x+1+\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}<0[/tex]
[tex]x^2+x+1+\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}<0[/tex]
[tex]x^2+x+1>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex]
[tex]\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}\ge 0[/tex]за всяко [tex]x\in R[/tex]
[tex]=>x^2+x+1+\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex]
[tex]=>[/tex] няма решение

[Nuki]

[tex]\sqrt{x^2+3x+2} +\sqrt{x^2 -x +1}< 1[/tex]
[tex]DM: x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;\infty )[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]x^2+3x+2+x^2 -x +1+2\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}<1[/tex]
[tex]=>2(x^2+x+1+\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}<0[/tex]
[tex]x^2+x+1+\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}<0[/tex]
[tex]x^2+x+1>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex]
[tex]\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}\ge 0[/tex]за всяко [tex]x\in R[/tex]
[tex]=>x^2+x+1+\sqrt{(x+1)(x+2)(x^2 -x +1)}>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex]
[tex]=>[/tex] няма решение

Извинявам се много няма да е [quote="Xixibg"][tex]\sqrt{x^2+3x+2} +\sqrt{x^2 -x +1}< 1[/tex], а [quote="Xixibg"][tex]\sqrt{x^2+3x+2} - \sqrt{x^2 -x +1}< 1[/tex]. Грешката е моя.

[Xixibg]

[tex]\sqrt{x^2+3x+2} -\sqrt{x^2 -x +1}< 1[/tex]
[tex]DM: x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;\infty )[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+3x+2} < 1+\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]x^2+3x+2<1+x^2 -x +1+2\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
[tex]=>4x<2\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
[tex]2x<\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
1сл.[tex]x<0[/tex] всяко [tex]x\in DM[/tex] е решение [tex]=>x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;0)[/tex]
2сл. [tex]x\ge 0[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]4x^2<x^2-x+1[/tex]
[tex]=>3x^2+x-1<0[/tex]
[tex]3(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{6})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{6})<0 ; =>x\in [0;\frac{\sqrt{13}-1}{6})[/tex]
1сл.[tex]\cup[/tex] 2сл. [tex]=>x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;\frac{\sqrt{13}-1}{6})[/tex]

[Nuki]

[tex]\sqrt{x^2+3x+2} -\sqrt{x^2 -x +1}< 1[/tex]
[tex]DM: x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;\infty )[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+3x+2} < 1+\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]x^2+3x+2<1+x^2 -x +1+2\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
[tex]=>4x<2\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
[tex]2x<\sqrt{x^2 -x +1}[/tex]
1сл.[tex]x<0[/tex] всяко [tex]x\in DM[/tex] е решение [tex]=>x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;0)[/tex]
2сл. [tex]x\ge 0[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]4x^2<x^2-x+1[/tex]
[tex]=>3x^2+x-1<0[/tex]
[tex]3(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{6})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{6})<0 ; =>x\in [0;\frac{\sqrt{13}-1}{6})[/tex]
1сл.[tex]\cup[/tex] 2сл. [tex]=>x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;\frac{\sqrt{13}-1}{6})[/tex]

И аз получавам точно това, но отговора е [tex]=>x\in (-\infty ; \frac{\sqrt{13}-1}{6})[/tex]

[Nuki]

И тази задача ме затруднява:


[tex]\frac{x + \sqrt{x^2 - 2x + 1} }{ x}[/tex] > 0

[Xixibg]

[tex]\frac{x + \sqrt{x^2 - 2x + 1} }{ x}> 0[/tex]
[tex]\frac{x + |x-1|}{ x}> 0[/tex]
1.[tex]x\ge 1 ; =>\frac{2x-1}{ x}> 0 ; =>x\in [1;\infty )[/tex]
2.[tex]x<1 ; =>\frac{1}{ x}> 0 ; =>x\in (0;1)[/tex]
[tex]1.\cup 2. ; =>x\in (0;\infty )[/tex]