Модулно неравенство |x^2 - 5x-6|= 4x-14

[yasmeen123]

Помогнете ми за това неравенство - [tex]|x^2 - 5x-6|= 4x-14[/tex] ?!

[Knowledge Greedy]

Ех, ако беше неравенство, щеше да е лесно.
Но сега е трудно човек да се сети да използва неравенства.
Лявата страна е неотрицателна [tex]\forall x[/tex], а дясната е неотрицателна при [tex]\forall x\ge \frac{7}{2}[/tex].
Да се върнем на лявата страна. При [tex]x\ge \frac{7}{2}[/tex] модулните скоби падат и се получава уравнението [tex]x^{2}-5x+6=4x-14[/tex]
[tex]x^{2}-9x+20=0[/tex], от което [tex]x_{1}=4[/tex] и [tex]x_{2}=5[/tex].

[pal702004]

При [tex]x \in (\frac 7 2;6)[/tex] [tex]x^2-5x-6<0[/tex]

[inveidar]

Това уравнение се решава най-лесно по следния начин. Първо искаме [tex]4x-14\ge 0[/tex], защото в противен случай неотрицателната лява страна ще бъде равна на отрицателната дясна, т.е няма да има решение. И така [tex]x\ge \frac{7}{2 }[/tex]. След това вече имаме право да повдигнем двете страни на втора степен(те вече са неотрицателни) и получаваме [tex](x^2-5x-6)^2=(4x-14)^2[/tex]. Тук е много важно да НЕ разкривате скобите! Прехвърляме всичко в лявата страна и прилагаме формулата за разлика на квадрати [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex], откъдето
[tex](x^2-x-20)(x^2-9x+8)=0 \Leftrightarrow x^2-x-20=0[/tex] или [tex]x^2-9x+8=0[/tex]. Остава да решиш двете уравнения и да провериш кои от корените им са по-големи или равни на [tex]\frac{7}{ 2}[/tex]. Те ще са решенията на модулното уравнение. Така освен корените, които по грешен път е получил Грейди ще получите, че и 8 е корен на уравнението.

[kmitov]

Това е същото:

Щом [tex]4x-14 \ge 0[/tex] (при [tex]x \ge 7/2[/tex]), то

[tex]x^2-5x-5=4x-14[/tex] или [tex]x^2-5x-6=-(4x-14)[/tex]

[inveidar]

Е, не е същото. Стига се до същото. Това са различни неща. По моя начин се използва, че модул на втора степен е изразът в модула на втора степен, а при теб, че има две числа, модулът от които е равен на дадено число.

[Knowledge Greedy]

Съжалявам , грешката ми е ученическа - не съм преписал вярно уравнението. Това, което съм дал като решение, е на уравнението [tex]|x^{2}-5x+6|=4x-14[/tex].
-------------------------------------------------------------
Абсолютно не съм съгласен с inveidar, с квалификацията на начина ми. Единственият проблем тук е: на кого се обяснява.
Неговият е общ, за много задачи. Моят тук е е частен, но най-краткият.

[pal702004]

Уф, да бе. Ти си решавал с +6. Всичко е точно, грешка при преписването.

[inveidar]

Сега виждам, че и аз съм се подвел от Грейди и съм написъл корени 5 и 4, а те са 5 и -4. Аз нищо не казвам за начина, а просто, че са различни.

[inveidar]

Съжалявам , грешката ми е ученическа - не съм преписал вярно уравнението. Това, което съм дал като решение, е на уравнението [tex]|x^{2}-5x+6|=4x-14[/tex].
-------------------------------------------------------------
Абсолютно не съм съгласен с inveidar, с квалификацията на начина ми. Единственият проблем тук е: на кого се обяснява.
Неговият е общ, за много задачи. Моят тук е е частен, но най-краткият.

Ако става въпрос за този начин(аз писах за начина на другия участник), то той не е по-кратък защото трябва да се докаже, че [tex]x^{2}-5x+6[/tex] е положително за [tex]x\ge \frac{7}{ 2}[/tex], а това не е много кратко, нали?

[pal702004]

Точно в конкретният случай [tex]|x^2-5x+6|[/tex] е много много кратко, защото корените 2 и 3 просто вадят очите, но по принцип има смисъл в това. Да се прецени кое е по-лесно за проверка на положительност/отрицателност (изразът в модула или в дясната част) и да се избере единият или другият начин. В конкретният случай отляво имаме квадратна (макар и удобна, но можеше и да не е), а отдясно линейна функция, така че е по-добре по вторият начин.

[yasmeen123]

Благодаря ви! Днес си купих сборника на Коларов за алгебрата и се счупвам да решавам.. стискайте палци на изпита!

[kmitov]

Точно в конкретният случай [tex]|x^2-5x+6|[/tex] е много много кратко, защото корените 2 и 3 просто вадят очите, но по принцип има смисъл в това. Да се прецени кое е по-лесно за проверка на положительност/отрицателност (изразът в модула или в дясната част) и да се избере единият или другият начин. В конкретният случай отляво имаме квадратна (макар и удобна, но можеше и да не е), а отдясно линейна функция, така че е по-добре по вторият начин.

Та при уравнение от вида [tex]|f(x)|=g(x)[/tex] според мен е задължително [tex]g(x) \ge 0[/tex], независимо кой израз е по прост.