Решенията на неравенството

[NadetoDG]

може ли подробно решение как става това
[(4x^2 - 1)*(x+5)]/ (2x -a)>=0

Благодаря!

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{ (4x^2 - 1) (x+5) }{(2x -a) }\ge 0[/tex]
Решение:
Разлагаме на множители [tex]\frac{ (2x - 1)(2 x+1) (x+5) }{(2x -a) }\ge 0[/tex]
Разполагаме анулаторите -[tex]5, -\frac{1}{ 2},-\frac{1}{ 2}[/tex] и [tex]\frac{a}{ 2}[/tex] на отделните множители на числовата ос. Параметърът [tex]a[/tex] има 4 възможности за разполагане на [tex]\frac{a}{ 2}[/tex] във вътрешността на определените от конкретни константи интервали и три - за краищата им.

Метод на интервалите 1-3-5-7.PNG (8.29 KiB) Прегледано 661 пъти

1.) [tex]a< -10[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]. Решенията са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;\frac{a}{2 } \right ) \cup \left [ -5;-\frac{1}{2 } \right ] \cup \left [ \frac{1}{ 2},+\infty\right )[/tex].
2.) [tex]a=-10[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]. След съкращаване [tex]\frac{ (2x - 1)(2 x+1) \cancel{(x+5}) }{2\cancel{(x+5)} }\ge 0[/tex] неравенството добива вида [tex](2x - 1)(2 x+1)\ge 0[/tex], но с дефиниционно множество [tex]\forall x \ne -10[/tex]. Решенията са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;-5 \right )\cup \left ( -5 ;-\frac{1}{2 } \right ] \cup \left [ \frac{1}{ 2},+\infty\right )[/tex].

3.) [tex]-10<a<-1\Rightarrow[/tex] Решенията са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;-5 \right ] \cup\left ( \frac{a}{ 2} ;-\frac{1}{2 } \right ] \cup \left [ \frac{1}{ 2},+\infty\right )[/tex]

4.) [tex]a=-1\Rightarrow[/tex] След съкращаване [tex]\frac{ (2x - 1)\cancel{(2 x+1)} {(x+5}) }{\cancel{(2x+1)} }\ge 0[/tex] неравенството добива вида [tex](2x - 1)( x+5)\ge 0[/tex], но с дефиниционно множество [tex]\forall x \ne -\frac{1}{2}[/tex]
Решенията са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;-5 \right ] \cup \left [ \frac{1}{ 2},+\infty\right )[/tex].

5) [tex]-1<a<1\Rightarrow[/tex] Решения са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;-5 \right ] \cup \left [ - \frac{1}{ 2},\frac{a}{2 } \right )\cup \left [ \frac{1}{ 2},+\infty\right )[/tex].

6.) [tex]a=1\Rightarrow[/tex] След съкращаване [tex]\frac{ \cancel{(2x - 1)}(2 x+1) (x+5) }{\cancel{(2x -1)} }\ge 0[/tex] неравенството добива вида [tex](2x + 1)( x+5)\ge 0[/tex], но с дефиниционно множество [tex]\forall x \ne \frac{1}{2}[/tex] .
Решенията са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;-5 \right ]\cup \left [- \frac{1}{ 2},\frac{1}{ 2} \right)\cup \left ( \frac{1}{ 2},+\infty\right )[/tex].
7.) [tex]1<a\Rightarrow[/tex] Решенията са [tex]\forall x \in \left ( -\infty ;-5 \right ][/tex] [tex]\cup \left [ - \frac{1}{ 2},\frac{1}{2 } \right ]\cup \left ( \frac{a}{ 2},+\infty\right )[/tex].

Метод на интервалите 2-4-6.PNG (6.39 KiB) Прегледано 661 пъти