Задача с параметър

[GOsingleD]

Здравейте! Попаднах на една трудна (за мен) задача. За сега не знам как да я реша. Моля да ми я обясните, защото подобни ще има на кандидат-студентския изпит. Благодаря!

задачата е задача 8. ето тук : http://www.fmi.uni-sofia.bg/priem/prime ... a%20M1.pdf

[monika_at]

[tex]a(4.4^x+1)=2(1+3.\frac{1}{ 2}.2^x)[/tex] Полагаме [tex]2^x=t>0[/tex], разкриваме скобите, преобразуваме и получаваме квадратното уравнение:

[tex]4at^2-3t+a-2=0[/tex]. За да има първоначалното уравнение единствен корен, квадратното трябва да има единствен положителен корен, с който да се върнем в полагането. Имаме два основни случая:

1) Уравнението е линейно.[tex]a=0[/tex]=>получаваме [tex]t=-\frac{2}{ 3} <0[/tex]=>тук нямаме решение.

2)Уравнението е квадратно [tex]a\ne 0[/tex].

2.1) Едната възможност е уравнението да има два различни корена. Тогава за да имаме единствен положителен корен, двата трябва да са с различни знаци, т.е.:
[tex]\frac{a-2}{4a }<0=>a\in (0;2)[/tex]

2.2) Уравнението има двоен положителен корен=>

[tex]D=0; t_1=t_2=\frac{3}{4a } >0[/tex]Решаваме системата и получаваме [tex]a=\frac{9}{ 4}[/tex]

Окончателно търсените стойности на а са: [tex]a\in (0; 2)\cup \frac{9}{4 }[/tex]

[GOsingleD]

Благодаря Ви! Изобщо не се сетих за това свойство за преобразуване на степени.

[monika_at]

Изчакай с благодарностите
Има още едно положение.. Ако квадратното уравнение е непълно, т.е., свободния член е 0.
При а=2=>[tex]t=\frac{3}{ 8} >0=>a=2[/tex]също е решение.

Благодаря, на моя приятел, който ме следи във форума.