Да се докаже,че за всички а,b,c, такива че a,b,c>0 и a*b*c=1

[141vo]

Да се докаже,че за всички а,b,c, такива че a,b,c>0 и a*b*c=1:
(a^2+b^2)/(a^4+b^4)+(b^2+c^2)/(b^4+c^4)+(a^2+c^2)/(a^4+c^4)<=a+b+c.
Благодаря предварително!

[pal702004]

Тук може да се докаже, че [tex]\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}\le c[/tex]. Аналогично за другите. Тъй като по условие [tex]c=\frac{1}{ab}[/tex], доказваме
[tex]\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}\le\frac{1}{ab}[/tex]

[tex]ab(a^2+b^2) \le a^4+b^4[/tex]. Еднородно неравенство, можем да се избавим от една променлива. Нека [tex]a \le b[/tex], делим на [tex]a^4[/tex] и полагаме [tex]x=\frac b a \ge 1[/tex]

[tex]x(x^2+1) \le x^4+1[/tex]

[tex]x^4-x^3-x+1 \ge 0, \quad (x^3-1)(x-1)\ge 0[/tex], което си е вярно при [tex]x \ge 1[/tex]

В конкретничт случай условието [tex]x \ge 1[/tex] дори не е необходимо, защото [tex](x^3-1)(x-1)=(x-1)^2(x^2+x+1)[/tex]. И двата множителя са неотрицателни.