Ирационални неравенства

[emsihammer98]

Здравейте!
Искам да ви попитам за едно ирационално неравенство, чието решение ми се получава дълго и като че ли грешно.

Ще напиша част от решението си и моля да ми кажете дали има нещо вярно?
Можем да разложим ирационалния израз на множители:
[tex]\sqrt{24-2x-x^2}[/tex] = [tex]\sqrt{(-1)(x-4)(x+6)}[/tex]


1сл.
Така. 1) да приемем, че x>0 => x ∈ (0;∞+)
Трябва 24-2x-x^2 ≥ 0
-x^2- 2x +24≥0 умножаваме по -1
x^2 +2x- 24≤0 => (x+6)(x-4)≤0
Допустимите стойностти на това неравенство са x [tex]\in[/tex] [-6;4]
Все пак имаме x ∈ (0;∞+) И x [tex]\in[/tex] [-6;4] , и трябва да се съобразим и с двете
=> x [tex]\in[/tex] (0;4]
2) да умножим по x . Получава се [tex]\sqrt{24-2x-x^2}[/tex] < x
3) повдигаме двете страни на квадрат 24-2x-x^2 < x^2
-x^2- 2x +24< x^2
-2x^2-2x+24< 0 делим на (-2) => x^2+x-12> 0
(x+4)(x-3)>0
x [tex]\in[/tex] (-∞;-4) [tex]\cup[/tex] (3;∞+)
Крайното решение на 1-я случай е x [tex]\in[/tex] (3;4]

2сл.
x<0 => x [tex]\in[/tex] (-∞;0)
24-2x-x^2 ≥ 0 -x^2- 2x +24 ≥ 0 умножаваме по -1
x^2 +2x- 24 ≤ 0 => (x+6)(x-4)≤0
Допустимите стойностти на това неравенство са x \in [-6;4]
Все пак имаме x ∈ (-∞;0) И x [tex]\in[/tex] [-6;4] , и трябва да се съобразим и с двете
=> x [tex]\in[/tex] [-6;0)
и го дорешаваме

П.С: Съжалявам за дългия пост, но отговора,който ми се получава всъщност е далеч от истината
отг. (5/4; ∞+)
Ако можете да ми кажете къде греша.

[Knowledge Greedy]

Споко! Отговорът, който ти е даден, е грешен - виж какво общо има с дефиниционното множество. Не е дори правдоподобен.

Аз го реших точно както и ти. Отг.: [tex]x\in [-6;0)\cup (3;4][/tex]

[emsihammer98]

Имам и още няколко задачи..В този пост ще представя първата
а) [tex]\sqrt{\frac{1-x}{ 2x-5}}[/tex] < 3 Отг: x[tex]\in[/tex] (1;[tex]\frac{46}{ 19}[/tex] ]
1-x≥0 => -x≥-1 => x≤1
2x-5>0 x>2,5 (x≠2,5)

/1сл./ x [tex]\in[/tex] (2,5; ∞+)
[tex]\sqrt{\frac{1-x}{ 2x-5}}[/tex] < 3 Да умножим по [tex]\sqrt{2x-5}[/tex]
=> [tex]\sqrt{1-x}[/tex]< 3*[tex]\sqrt{2x-5}[/tex]
(1) (2)
[tex]\sqrt{1-x}[/tex] <0
3*[tex]\sqrt{2x-5}[/tex] >0
=> При [tex]\sqrt{1-x}[/tex]< 3*[tex]\sqrt{2x-5}[/tex] е вярно при всяко x [tex]\in[/tex] (2,5; ∞+)

/2сл/ x[tex]\in[/tex] (-∞; 1]
[tex]\sqrt{\frac{1-x}{ 2x-5}}[/tex] < 3
[tex]\sqrt{\frac{1-x}{ 2x-5}}[/tex] >0 3>0
[tex]\sqrt{\frac{1-x}{ 2x-5}}[/tex] < 3 повдигаме двете страни на квадрат
[tex]\frac{1-x}{2x-5 }[/tex] < 9
, но 2x-5<0 и 1-x<0
Умножаваме 2x-5 (като знака на уравнението се сменя)
1-x> 9* (2x-5)
1-x > 18x- 45
-19x>-46 =>
x<[tex]\frac{46}{ 19}[/tex]

1) Не ми се получава нещо отговора
2) Съмнявам се, че сбърках нещо

[Добромир Глухаров]

[tex]\sqrt{\frac{1-x}{2x-5}}<3\Leftrightarrow\begin{array}{|l}\frac{1-x}{2x-5}\ge 0\\\frac{1-x}{2x-5}<3^2\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\in[1;2,5)\\\frac{1-x-18x+45}{2x-5}<0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\in[1;2,5)\\x\in\(-\infty;\frac{46}{19}\)\cup\(2,5;+\infty\)\end{array}\Leftrightarrow x\in\[1;\frac{46}{19}\)[/tex]

[inveidar]

Имам и още няколко задачи..В този пост ще представя първата
а) [tex]\sqrt{\frac{1-x}{ 2x-5}}[/tex] < 3 Отг: x[tex]\in[/tex] (1;[tex]\frac{46}{ 19}[/tex] ]
1-x≥0 => -x≥-1 => x≤1
2x-5>0 x>2,5 (x≠2,5)
1) Не ми се получава нещо отговора
2) Съмнявам се, че сбърках нещо

Защото трябва цялият израз под корена да е неотрицателен, което означава, че може числителят да е по-малък или равен на нула и знаменателят да е отрицателен. Това си пропуснал.

[monika_at]

Рационални или дробно-рационални неравенства се решават с МИ. Обединение (сечение) е много тегаво.

[emsihammer98]

Благодаря Ви да предишните отговори!
Имам още един (надявам се последен) въпрос относно един тип задачи от тези неравенства.
[tex]\sqrt{2x+1}[/tex] + [tex]\sqrt{x+1}[/tex] < 1

2x+1≥0 => x≥[tex]-\frac{1}{ 2}[/tex]
x+1≥0 => x≥-1

Ако прехвърлим [tex]\sqrt{x+1}[/tex] в дясно се получава:
[tex]\sqrt{2x+1}[/tex] < 1- [tex]\sqrt{x+1}[/tex]
Трябва,обаче, да проверим кога дясната страна е >0
1- [tex]\sqrt{x+1}[/tex] > 0
- [tex]\sqrt{x+1}[/tex]>-1 => [tex]\sqrt{x+1}[/tex]<1 Вече повдигаме на квадрат двете страни
x+1<1 x<0

Разглеждаме случаи:
1сл /x [tex]\in[/tex] [[tex]-\frac{1}{ 2}[/tex];0)
Тук решенията са x [tex]\in[/tex] (-∞; 3- 2[tex]\sqrt{3}[/tex]) [tex]\cup[/tex] (3+2[tex]\sqrt{3}[/tex]; ∞+)
Или окончателно решение за този случай [[tex]-\frac{1}{ 2}[/tex] ; 3- 2[tex]\sqrt{3}[/tex])

Имам два въпроса относно тази задача:
1) Вторият случай този ли е: x [tex]\in[/tex] (-∞; -1]
2) Трябва да получим x-a да е <0 преди да започнем да разглеждаме случаите, нали?

Благодаря предварително!!