Модулно неравенство?

[Vorp]

Здравейте...имам въпрос отностно едно неравенство

[tex]| \frac{2x - 12}{x - 3 }| \ge 4[/tex]

Аз получих че [tex]X > 3[/tex] но мисля ,че го решавам по грешен начин. Някой, би ли ми обяснил по-подробно, как се решава такъв тип задачи?

Благодаря предварително.

[MENKA]

След като изразът в модула е по-голям от положително число,разглеждате само случая,в който изразът в модула е >0 и така (2x-12)/(x-3)≥0
д. О. (x-6)/(x-3)≥0 за x≠3
x принадлежи (-∞;3) и [6;+∞)

(2x-12)/(x-3)≥(4(x-3))/(x-3)
(2x-12-4x+12)/(x-3)≥0
(-2x)/(x-3)≥0
x/(x-3)≤0

х принадлежи на [0;3)-като се съобразим с ДМ за х

[Knowledge Greedy]

[tex]\left |\frac{2x - 12}{x - 3 } \right | \ge 4[/tex]
Един възможен начин е директното повдигане на втора степен. Двете страни са неотрицателни и затова полученото неравенство е еквивалентно на първоначалното, поне в областта на реалните числа.
[tex]\left ( \frac{2x - 12}{x - 3 } \right )^2 \ge 16[/tex]
Прехвърляме [tex]16[/tex] отляво
[tex]\left ( \frac{2x - 12}{x - 3 } \right )^2-4^2 \ge 0[/tex]

и разлагаме на множители

[tex]\left ( \frac{2x - 12}{x - 3 }+4 \right )\left ( \frac{2x - 12}{x - 3 }-4 \right ) \ge 0[/tex]

[tex]\frac{6x - 24}{x - 3 }. \frac{ -2x}{x - 3 }\ge 0[/tex]

Получаваме [tex]\frac{12x(4-x)}{(x-3)^2 }\ge0[/tex]
Следователно
[tex]\forall x, x\in [0;4][/tex], като разбира се [tex]x\ne3[/tex]

Отговор: [tex]x\in [0;3)\cup (3;4][/tex]

[Knowledge Greedy]

II-ри начин.
Като знаем, що е модул - можем да направим и не много сложно логическо решение.

Модулът на разликата [tex]|a-b|[/tex] е разстоянието между точките, които са образите на числата [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] върху числовата ос.

Разстоянието между a и b.PNG (1.46 KiB) Прегледано 813 пъти

Първо отделяме цяла част
[tex]\frac{2x - 12}{x - 3 }=2-\frac{6}{x-3}[/tex]
В случая числото [tex]a[/tex] е числото [tex]2[/tex], а числото [tex]b= \frac{6}{x-3}.[/tex]

Какво означава даденото неравенство [tex]\left |2-\frac{6}{x-3} \right |\ge 4?[/tex]

Означава, че разстоянието между двете числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] е не по-малко от [tex]4[/tex].
И тъй като числото [tex]a=2[/tex] е фиксирано, то второто число би могло да е само в един от зелените интервали - виж чертежа.

Разстояние между числа -разстояние между точки.PNG (3.3 KiB) Прегледано 813 пъти

Всяка точка от зелен интервал е на разстояние от [tex]2[/tex] по-голямо от [tex]4[/tex].
На разстояние [tex]4[/tex] от [tex]2[/tex] са само [tex]-2[/tex] и [tex]6[/tex].

Следователно трябва да решим всяко от неравенствата [tex]\frac{6}{x-3 }\ge 6[/tex] и [tex]\frac{6}{x-3 }\le -2.[/tex]
Първото има смисъл, ако знаменателят е положителен - значи при [tex]x>3[/tex]. То е равносилно на [tex]x\le 4[/tex].
Дотук [tex]x\in (3;4][/tex].

Второто неравенство е възможно при [tex]x<3[/tex]. То е равносилно на [tex]x\ge 0[/tex]. Значи [tex]x\in [0;3)[/tex]
Окончателно [tex]x\in [0;3)\cup (3;4][/tex].

[monika_at]

След като изразът в модула е по-голям от положително число,разглеждате само случая,в който изразът в модула е >0 и така (2x-12)/(x-3)≥0
д. О. (x-6)/(x-3)≥0 за x≠3
x принадлежи (-∞;3) и [6;+∞)

(2x-12)/(x-3)≥(4(x-3))/(x-3)
(2x-12-4x+12)/(x-3)≥0
(-2x)/(x-3)≥0
x/(x-3)≤0

х принадлежи на [0;3)-като се съобразим с ДМ за х

Изразът в модула е по-голям от положително число? все едно да ми кажеш, че ако:
|x|>3=>x>3? само?

[amsara]

След като изразът в модула е по-голям от положително число,разглеждате само случая,в който изразът в модула е >0 и така (2x-12)/(x-3)≥0
д. О. (x-6)/(x-3)≥0 за x≠3
x принадлежи (-∞;3) и [6;+∞)

(2x-12)/(x-3)≥(4(x-3))/(x-3)
(2x-12-4x+12)/(x-3)≥0
(-2x)/(x-3)≥0
x/(x-3)≤0

х принадлежи на [0;3)-като се съобразим с ДМ за x

Менка, написаното не е вярно.
[tex]I\frac{2x-12}{x-3 }I \ge 4[/tex]
[tex]=>\frac{2x-12}{ x-3)}\ge 4[/tex] или [tex]\frac{2x-12}{x-3 } \le -4[/tex]

1).[tex]\frac{2x-12}{x-3 } -4.\frac{(x-3)}{(x-3) }\ge 0 <=>\frac{-2x}{ (x-3)} \ge 0[/tex] при [tex]x\ne3[/tex]
[tex]-2x(x-3)\ge0[/tex]
С метод на интервалите и съобразяване с ДС за х определяме единия интервал, ама има и друг.
[tex]=>x \in [0;3)[/tex]

2). [tex]\frac{2x-12}{x-3 } \le -4[/tex]
[tex]\frac{2x-12}{x-3 } +4.\frac{(x-3)}{(x-3) }\le 0 <=> (6x-24)(x-3)\le 0[/tex] при [tex]x\ne3[/tex]
С метод на интервалите и съобразяване с ДС за х определяме интервалa:
[tex]x\in(3;4][/tex]
[tex]=>x \in [0;3)\cup (3;4][/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето още един начин, който учат всички в училище. Той не е кратък, но е универсален и безпощаден. За разкриването на модулните скоби оформлението в таблица (поне за начинаещи) е за предпочитане.
Трябва да знаем определението за модул.
Определението е: модул [tex]|u|[/tex] на положително число [tex]u[/tex] е самото число [tex]u[/tex] ;
модул [tex]|u|[/tex] на отрицателно число [tex]u[/tex] е числото [tex]-u[/tex], противоположното число на [tex]u[/tex] ;
модулът на нула е самата нула.

Да представим неравенството с частно на два модула [tex]\frac{2 |x - 6 |}{ |x - 3 | } \ge 4[/tex]
Съкращаваме на [tex]2[/tex]
[tex]\frac{ |x - 6 |}{ |x - 3 | } \ge 2[/tex]

Може да се освободим от знаменателя, но трябва всеки път да добавяме в условието [tex]x\ne 3[/tex]
[tex]|x - 6 | \ge 2|x - 3 |[/tex]

Ето таблицата, с чиято помощ разкриваме модулните скоби.

Таблица за разкриване на модулните скоби.PNG (5.36 KiB) Прегледано 804 пъти

Виждат се веднага трите случая:
Зеленото неравенство [tex]-(x-6)\ge -2(x-3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\ge 0[/tex]
Жълтото неравенство [tex]-(x-6)\ge 2(x-3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\le 4[/tex]
Синьото неравенство [tex](x-6)\ge 2(x-3)[/tex] няма решения в интервала [tex][6; +\infty )[/tex].
Като съобразим в кои интервали разглеждаме зеленото и жълтото неравенства, получаваме точно същите решения, както и по другите методи [tex]x\in [0; 3)\cup (3; 4][/tex]

[monika_at]

След като изразът в модула е по-голям от положително число,разглеждате само случая,в който изразът в модула е >0 и така (2x-12)/(x-3)≥0
д. О. (x-6)/(x-3)≥0 за x≠3
x принадлежи (-∞;3) и [6;+∞)

(2x-12)/(x-3)≥(4(x-3))/(x-3)
(2x-12-4x+12)/(x-3)≥0
(-2x)/(x-3)≥0
x/(x-3)≤0

х принадлежи на [0;3)-като се съобразим с ДМ за х

Ужас!

[Vorp]

Много благодаря на всички за бързите отговори. Аз бях пропуснал един знаменател и от там, грешки колкото щеш.