Параметрично неравенство. Помощ

[phantom]

За кои стойности на m, уравнението x^2+(m-3)x+1-2m=0 има корени, изпълняващи зависимостта 1/2.(x1/x2+x2/x1)+3=0 Моля някой да ми покаже начин за решаване. Благодаря предварително .

[Nathi123]

Става въпрос за квадратното параметрично уравнение [tex]x^{2}[/tex]+ ( m - 3)x + 1 - 2m = 0 . Малко преобразуваме дадената зависимост между корените [tex]\frac{x_{1 }^{2}+x_{2 }^{2}}{2x_{1 }x_{2 }}[/tex]+3=0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{(x_{1 }+x_{2 })^{2}-2x_{1 }x_{2}}{2x_{1 }x_{2 }}[/tex]+3=0.(1) От Т на Виет [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }+x_{2 }[/tex] = 3 - m и [tex]x_{1 }.x_{2 }[/tex] = 1 - 2m (1) добива вида [tex]\frac{(3-m)^{2}-2(1-2m)}{2(1-2m)}[/tex]+3=0, m[tex]\ne[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex] . След разкриване на скобите и привеждане под общ знаменател поучаваме [tex]\frac{m^{2}-14m+13}{2(1-2m)}[/tex]=0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]m^{2}[/tex]-14m + 13 =0[tex]\Leftrightarrow[/tex] m = 1 [tex]\cup[/tex] m = 13 .

[Добромир Глухаров]

Най-напред за да има уравнението корени, трябва дискриминантата да е неотрицателна. [tex]D=(m-3)^2-4.(1-2m)=m^2-6m+9-4+8m=m^2+2m+5=(m+1)^2+4>0\ \forall m[/tex]. Значи заради дискрименантата няма да изключваме стойности от решенията.

[tex]\frac{1}{2}\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)+3=0\Rightarrow\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-6[/tex]

Вляво привеждаме под общ знаменател: [tex]\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-6\Rightarrow x_1^2+x_2^2=-6x_1x_2[/tex] - умножили сме по [tex]x_1x_2[/tex], значи трябва да проверим за кои стойности на [tex]m\ x_1x_2=0[/tex] и накрая да изключим тези стойности от окончателното решение. За целта заместваме в изходното уравнение [tex]x[/tex] с [tex]0[/tex] и получаваме [tex]0^2+(m-3).0+1-2m=0\Rightarrow 1=2m\Rightarrow m=\frac{1}{2}[/tex]. Значи ако от [tex]x_1^2+x_2^2=-6x_1x_2[/tex] получим [tex]m=\frac{1}{2}[/tex] като решение, трябва да го пренебрегнем.

Преобразуваме лявата страна: [tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex]

Значи имаме:

[tex](x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-6x_1x_2[/tex]

[tex](x_1+x_2)^2=-4x_1x_2[/tex]

От формулите на Виет [tex]x_1+x_2=-(m-3);\ x_1x_2=1-2m[/tex]

[tex](3-m)^2=-4.(1-2m)[/tex]

[tex]m^2-6m+9=-4+8m[/tex]

[tex]m^2-14m+13=0[/tex]

Намираме съкратената дискриминанта:

[tex]D_1=7^2-13=49-13=36=6^2[/tex]

И съответно корените:

[tex]m_1=7+6=13\ne\frac{1}{2}[/tex]

[tex]m_2=7-6=1\ne\frac{1}{2}[/tex]

[tex]m\in\{1,13\}[/tex] - Получихме две стойности за m - и двете са решения.

П.П. Видях, че са ме изпреварили, но ме дожаля да трия написаното до тук. Дано не съм досаден.

[phantom]

Благодаря много! Имам още едно питане : Намерете стойностите на m, за които уравнението 4mx^2+8(1-m)x+3m-13)=0 има два различни отрицателни корена. Ясно ми е, че x1.x2>0 (c.a>0), x1+x2<0 и D>0 , но по-нататък в решението имам затруднения.

[Nathi123]

Уравнението ще е квадратно,ако a[tex]\ne[/tex] 0 т.е. m[tex]\ne[/tex]0.Двата корени различни и отрицателни [tex]\Rightarrow[/tex] D > 0 и [tex]x_{1 }.x_{2 }[/tex]>0 , и [tex]x_{1 }+x_{2 }[/tex]<0 . D= [tex](4(1-m))^{2}[/tex]-4m(3m-13)=4([tex]m^{2}[/tex] - 5m +4) Така получаваме системата за m : [tex]\begin{array}{|l} m^{2}-5m+4>0,m\ne0 \\ \frac{8(m-1)}{4m} <0\\ \frac{3m-13}{4m}>0 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} (m-1)(m-4)>0,m\ne0 \\ m(m-1)<0 \\(3m-13)m>0 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} m\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(4,\infty) \\ m\in(-\infty,0)\cup(\frac{13}{3},\infty )\\m\in(0,1)\end{array}[/tex] . Няма такива m ,които да са решения на системата неравенства.Т.е решението на системата е празното множество.

[phantom]

Благодаря отново. Ако за същото уравнение трябва да търся корени с различни знаци, как се процедира ?

[Добромир Глухаров]

Благодаря отново. Ако за същото уравнение трябва да търся корени с различни знаци, как се процедира ?

Би трябвало да си съставим системата [tex]\begin{array}{|l}D>0\\x_1x_2<0\end{array}[/tex], но всъщност е достатъчно само [tex]x_1x_2<0\Rightarrow \frac{c}{a}<0\Rightarrow ac<0\Rightarrow D=b^2-4ac>b^2\ge 0\Rightarrow D>0[/tex].

[tex]ac<0\Rightarrow 4m(3m-13)<0\Rightarrow m\in\left(0;\frac{13}{3}\right)[/tex]