Неравенство с 2 модула и логаритъм

[pavlin117]

.. Благодаря предварително !

[ptj]

Логаритъма не трябва да те плаши, защото те интересува само неговия знак.

[Knowledge Greedy]

[tex]log_{x^2+2x-3}\frac{|x+4|-|x|}{x-1}>0[/tex]
Решение:
Дефиниционното множество определяме от условията:
[tex]\begin{array}{|l} x^2+2x-3>0 \\ x^2+2x-3\ne 1 \\ \frac{|x+4|-|x|}{x-1}>0 \\ x-1\ne 0 \end{array}[/tex]
Първите две и четвъртото дават интервалите [tex](-\infty;\,\ -1-\sqrt{5})\cup (-1-\sqrt{5};-3)\cup (1; \,\ -1+\sqrt{5})\cup (-1+\sqrt{5}; +\infty)[/tex]
Третото ще проверим при необходимост.

Представяме нулата като логаритъм от единица.
[tex]log_{x^2+2x-3}\frac{|x+4|-|x|}{x-1}>log_{x^2+2x-3}1[/tex]

Първи случай - основата е между нула и единица.
[tex]\Rightarrow \,\ x^2+2x-3<1 \,\ \Rightarrow \,\ x\in (-1+\sqrt{5};-3) \cup(1; \,\ -1+\sqrt{5})[/tex] (засечено с намерената част от ДМ)
Антилогаритмуваме
[tex]\frac{|x+4|-|x|}{x-1}<1[/tex]

I.1.)
[tex]x\in (-1-\sqrt{5};-3)[/tex]

[tex]x+4+x<x-1[/tex]
(знаменателят е положителен и се освобождаваме от него т.к. [tex]x>1[/tex])
[tex]x<5[/tex]
Следователно [tex]\forall x\in (-1-\sqrt{5};-3)[/tex] е решение. Проверката на третото условие от ДМ е тривиална - и числителят, и знаменателят на дробта са отрицателни, следователно [tex]\frac{|x+4|-|x|}{x-1}>0[/tex].

I.2.)
[tex]x\in(1; \,\ -1+\sqrt{5})[/tex]

Модулните скоби падат, (знаменателят е отрицателен и се освобождаваме от него с промяна на знака на неравенството).[tex]x+4-x<x-1[/tex]
Получените [tex]x>5[/tex] не са в разглеждания интервал. В този случай няма решение.

Втори случай - основата е по-голяма от единица.
[tex]x^2+2x-3>1[/tex]
Засечено с намерената част от DM, така търсим [tex]x\in(-\infty;\,\ -1-\sqrt{5})\cup (-1+\sqrt{5}; +\infty)[/tex]
След антилогаритмуване неравенството добива вида
[tex]\frac{|x+4|-|x|}{x-1}>1 \,\ (\ast)[/tex]

II.1.)
[tex]x\in(-\infty;\,\ -4)[/tex]

[tex](\ast) \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{-x-4+x}{x-1}>1 \,\ \Leftrightarrow \,\ -4<x-1 \,\ \Leftrightarrow \,\ x>-3[/tex]
В този подслучай няма решение.

II.2.)
[tex]x\in(-4; \,\ -1-\sqrt{5} )[/tex]

[tex](\ast) \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{x+4+x}{x-1}>1 \,\ \Leftrightarrow \,\ 2x+4<x-1 \,\ \Leftrightarrow \,\ x<-5[/tex]
И в този подслучай няма решение.

II.3.)
[tex]x\in (-1+\sqrt{5}; +\infty)[/tex]

[tex](\ast) \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{x+4-x}{x-1}>1 \,\ \Leftrightarrow \,\ 4>x-1 \,\ \Leftrightarrow \,\ x<5[/tex]
Следователно решенията в случая са [tex]\forall x\in (-1+\sqrt{5}; 5)[/tex]
Проверката на третото условие от ДМ е излишна, намерените [tex]x[/tex] са такива, че [tex]\frac{x+4-x}{x-1}>1[/tex] следователно [tex]\frac{|x+4|-|x|}{x-1}>0[/tex].

Отговор: [tex]x\in (-1-\sqrt{5};-3) \cup (-1+\sqrt{5}; 5)[/tex]