Необходимо условие и достатъчно условие

[christotaku]

Да разгледаме двете условия [tex]x^{2} - 3x - 10 < 0[/tex] и [tex]|x-2| < a[/tex] за реалното число x, където а е положително реално число.
1)Определете стойностите на а, за които [tex]|x-2| < a[/tex] е необходимо условие за [tex]x^{2} - 3x - 10 < 0[/tex]
2)Определете стойностите на а, за които [tex]|x-2| < a[/tex] е достатъчно условие за [tex]x^{2} - 3x - 10 < 0[/tex]

Единствено реших неравенството с квадратното уравнение, от което излиза, че x заема стойности от -2 до 5 и после замествах в модула, но не получих отговорите. Изобщо, каква е разликата между необходимо и достатъчно условие?

[Knowledge Greedy]

Отговор:
за 1) [tex]a<0[/tex]
за 2) [tex]a>4[/tex]

[christotaku]

Отговор:
за 1) [tex]a<0[/tex]
за 2) [tex]a>4[/tex]

обаче отговорите са 1) [tex]а\ge4[/tex] и за втория случай: [tex]0<а\le3[/tex]
плюс това по условие имаме a>0, тоест a не може да е по-малко от нула

[Добромир Глухаров]

$1.)\ x\in(-2;5)\Rightarrow|x-2|<a$ - необходимост.

За $x\in(-2;5)$ $|x-2|<4\Rightarrow|x-2|<a\forall a\geq4$

$2.)\ |x-2|<a\Rightarrow x\in(-2;5)$ - достатъчност.

За да ограничи неравенството $|x-2|<a$, $x$ в интервала $(-2;5)$, трябва $a$ да е не повече от $3$, иначе $x$ може да стане повече от $5$. От друга страна, за да има такива $x$, трябва $a>0$.

[ptj]

"Необходимост" и " достатъчност" са еквивалентни на "следва", разликата е само в посоката.

[Knowledge Greedy]

"Необходимост" и " достатъчност" са еквивалентни на "следва", разликата е само в посоката.

Да, важна е гледната точка.
Ако имаме твърдение [tex]A \,\ \Rightarrow \,\ B[/tex], съставено от условие [tex]A[/tex] и заключение [tex]B[/tex],
казваме, че [tex]A[/tex] е достатъчно условие за [tex]B[/tex],
а [tex]B[/tex] е необходимо условие на [tex]A[/tex].