Задача за неравенства между средни

[Neko- chan]

Да се докаже, че за всеки три положителни числа a, b и c е вярно неравенството [tex](\frac{a+2b}{c})^{2}+(\frac{b+2c}{a})^{2}+(\frac{c+2a}{b})^{2}\ge27[/tex].
Упутване: Използвайте по подходящ начин неравенствата между средни.

[Davids]

Ще се заема малко по-късно, засега оставям този златен линк в помощ на който се поинтересува

[pal702004]

Разкриваме скобите и групираме по следния начин:

$\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)+3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)+4\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)$

Във всяка скобка прилагаме неравенството м/у ср. аритм. и ср. геом., получаваме

$\ge 3\times 2+3\times 3+4\times 3$

[pal702004]

Да, може и да не се групират по двойки.

$\ge 1\times 3+4\times 3+4\times 3$