Неравенство с дължини на страни на триъгълник

[Neko- chan]

Може ли помощ с тази задача, защото не съм сигурна, че разбирам много добре упътването?
Да се докаже, че ако числата a, b и c са дължини на страните на триъгълник, то вярно е неравенството [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2[/tex].
Упътване: Какво става с лявата страна на неравенството, ако всеки от знаменателите заменим с израза a+b+c?

[KOPMOPAH]

За начало разглеждаме дробите $\frac a{b+c}$ и $\frac {2a}{a+b+c}$, като втората се получава от първата с прибавяне на $a$ към числителя и знаменателя. Съставяме неравенството $\frac a{b+c}$ ¥ $\frac {2a}{a+b+c}$, като на мястото на знака за йената трябва да стои $<$ или $>$. Като се освободим от знаменателите, което няма да се отрази на знака, защото работим с положителни числа, получаваме $a^2+ab+ac \:¥\; 2ab+2ac \Leftrightarrow a^2\; ¥ \;ab+ac\Leftrightarrow a\;¥\;b+c$, тук се сещаме, че става дума за дължини на страни на триъгълник и стигаме до извода, че знакът, скрит зад йената, е $<$, т.е. имаме $\frac a{b+c}<\frac {2a}{a+b+c}$. По същия начин стигаме до $\frac b{a+c}<\frac {2b}{a+b+c}$ и $\frac c{a+b}<\frac {2c}{a+b+c}$. Събирайки почленно неравенствата, стигаме до $\frac a {b+c}+\frac b{a+c}+\frac c{a+b}<\frac {2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c} =2$

[inveidar]

Нищо. Виж, ако предположим, че [tex]a\ge b\ge c[/tex], то всички знаменатели можем да заменим с [tex]b+c[/tex] и да свършим работата!
Аналогично действаме, ако подредбата е друга. Получаваме, че лявата страна е по-малка от [tex]\frac{a+b+c}{b+c}<1+\frac{a}{b+c}<2[/tex]