Индукция, неравенства.

[Петър Евгениев]

Ако някой може да ми помогне с доказването на неравенства с индукция ще съм благодарен, мога да я използвам при уравнения, но неравенствата..
Да се докаже, че за всяко естествено число n>4 е изпълнено неравенството.
[tex]2^{n}>n^{2}[/tex]
Да се докаже , че за всяко естествено число n и за всяко реално число [tex]x\ge-1[/tex] е изпълено
[tex](1+x)^{n}\ge1+nx[/tex]
Докажете, че неравенството:
[tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}[/tex] е вярно за всяко естествено число n>1;

Не съм в нужда за задачите ами, ако може малко обяснение , защо, как и т.н.т

[Davids]

Приньипът е същия, вече в частния случай търсиш как да докажеш допуснатото. Проверяваш дали е вярно за минималната стойност от ДС, после допускаш, че е вярно за някое $k\in ДС$ и проверяваш дали (целиш да докажеш, че) условието е изпълнено също и за $k+1$. При неравенствата най-често се свежда до доказване на положителност/отрицателност на разлики или в зависимост вече от даденото. Ще мога да ти напиша задачите като се прибера, че от телефона е крайно неудобно.

[Genie_Almo]

зад1.
Стъпка 1: За n=5 правим проверка 2^5 > 5^2 - изпълнено.

Стъпка 2: Правим индукционното допускане за n=k :

[tex]2^{k}>k^{2}[/tex]

Стъпка 3: Използвайки горното като даденост се опитваме да докажем:

[tex]2^{k+1}>(k+1)^{2}[/tex]

[tex]2^{k+1} = 2^{k} + 2^{k} > k^{2} + k^{2} > k^{2} + 2k +1[/tex]

Лявата част на неравенството следва от допускането в предходната стъпка, а това че k^2 > 2k +1, за k>4 мисля, че няма смисъл да го задълбаваме.

[Genie_Almo]

зад 2.

Проверка за n=1 : [tex](1+x)^{1} \ge 1+1x[/tex] - изпълнено.

Допускаме, че за n=k : [tex](1+x)^{k} \ge 1+kx[/tex]

[tex](1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x[/tex] ?

[tex](1+x)^{k+1} = (1+x)^{k} + x(1+x)^{k}\ge1+kx+x(1+x)^{k}[/tex]

Последното идва от допускането в предходната стъпка. Сега, остава да докажем, че [tex]x(1+x)^{k}\ge x[/tex] . Това, мисля лесно можеш да направиш като разгледаш x в интервалите [-1;0), [0] и (0; +[tex]\infty[/tex])

[Genie_Almo]

Зад. 3 . Направи си проверката за n=2, за да имаш база за индукция и докажи, че функцията от лявата страна на неравенството е растяща. Наистина, ефектът от увеличаването на k с единица се изразява в това, че от предходната сума отпада най-големият компонент [tex]\frac{1}{k+1}[/tex] и се заменя с два нови: [tex]\frac{1}{k+k+1}[/tex] и [tex]\frac{1}{k+k+1+1}[/tex] . Ако докажеш, че положителният ефект от двата нови компонента е по-голям от този на отпадналия...

[Петър Евгениев]

Супер сте

[pal702004]

Като бонус може да докажеш, че сумата е по-малка от $\ln(2)$