Ирационални неравенства

[Петър Евгениев]

[tex]\frac{1}{\sqrt{x+8}}-\frac{1}{3(2-x)} > 0[/tex]
[tex]\frac{3(2-x)-\sqrt{x+8}}{3(2-x)\sqrt{x+8}} >0[/tex]
Допустимите стойности са: [tex]3(2-x)\sqrt{x+8}\ne0[/tex]
Демек [tex]x\ne -8[/tex], [tex]x\ne 2[/tex];
Като обединим тези за допустимите стойности получаваме:
[tex]x\epsilon(-\infty;-8)\cup(-8;2)\cup(2;+\infty)[/tex];
Сега слагаме в система ДС и повдигаме на квадрат:
[tex]\begin{cases} x\epsilon(-\infty;-8)\cup(-8;2)\cup(2;+\infty) \\ x\epsilon(-\infty;1)\cup(\frac{28}{9};+\infty) \end{cases}[/tex]
Второто е решението ми , след като съм повдигнал на квадрат:
[tex]3(2-x)>\sqrt{x+8}[/tex]
И сега по системата която получавам трябва да бъде [tex]x\epsilon(-\infty;-8)\cup(-8;1)\cup(\frac{28}{9};+\infty)[/tex]
А отговорът е: [tex]x\epsilon(-8;1)\cup(2;+\infty)[/tex]
Ако някои намери логическа или техническа грешка ще ми помогне

[Петър Евгениев]

Намерих една докато го пишех, от това :
[tex]3(2-x)>\sqrt{x+8}[/tex]
3(2-x)>0
x<2
Същото за корена и трябва да е
x>-8
?

[S.B.]

[tex]\frac{1}{\sqrt{x + 8}}[/tex] - [tex]\frac{1}{3(2 - x)}[/tex] > 0
[tex]\frac{1}{\sqrt{x + 8}}[/tex] > [tex]\frac{1}{3(2 - x)}[/tex], рационализираш
[tex]\frac{\sqrt{x + 8}}{x + 8}[/tex] > [tex]\frac{1}{3(2 - x)}[/tex] ,умножаваш двете страни по (x + 8)>0 и получаваш:
[tex]\sqrt{x + 8}[/tex] > [tex]\frac{x + 8}{3(2 - x)}[/tex]
Сега вече попадаш в схемата [tex]\sqrt{f(x)}[/tex] > g(x),където f(x) = x + 8 ,а g(x) = [tex]\frac{x + 8}{3(2 - x)}[/tex]
Решението е в две системи неравенства,отговорите на които обединяваш:
[tex]\begin{cases} g(x)< 0 \\ f(x)\ge0 \end{cases}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{cases} g(x)\ge 0 \\ f(x)>0 \end{cases}[/tex] f(x) > [tex]g^{2}[/tex](x)
(Неравенството f(x) > [tex]g^{2}[/tex](x) е трето неравенство във втората система,но не можах да го напиша)
От първата система: x[tex]\in[/tex] (2,+[tex]\infty[/tex])
От втората система x[tex]\in[/tex] (-8,1) [tex]\cup[/tex] ([tex]\frac{56}{18}[/tex], +[tex]\infty[/tex])
и окончателно x [tex]\in[/tex] (-8,1) [tex]\cup[/tex] (2, +[tex]\infty[/tex])
Схемите за решаване на ирационални неравенства можеш да намериш във всеки справочник по математика.Аз използвах"Математически справочник" на Боряна Милкоева,одобрен от МОН