Параметрично неравенство

[Петър Евгениев]

За кои стойности на a, [tex]a4^{x^{2}}+(a-1)2^{x^{2}+2}+a-1>0[/tex] е изпълнено за всяко х
Отговор:[tex]a>\frac{5}{6}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$2^{x^2}=t\geq1$

$f(t)=at^2+(4a-4)t+a-1>0$

$\lim_{t\to+\infty}f(t)>0\Rightarrow a>0$ и за да е изпълнено $f(t)>0$ за $2^{x^2}=t\geq1$, трябва $f(1)>0$.

$f(1)=a+4a-4+a-1>0\Rightarrow 6a>5$

[123a]

Полагаме $2^{x^2}=y$, $y>1$ за всяко х.

Получаваме $ay^2+4(a-1)y+a-1>0(1)$

Задачата се свежда до това да намерим стойностите на параметъра а, за които (1) е изпълнено за всяко $y>1(2)$ .

Нека рагледаме случая ,при който $a>0$.

A
Тогава, ако $D$ на $(1)$е отрицателна, то $(1)$ е изпълнено за всяко $у$, значи ще бъде изпълнено и за всяко $y>1$
Сега имаме системата [tex]\begin{cases} a > 0 \\ 4(3a^2-7a+4)< 0 \end{cases}[/tex] с решение $a\in(1;\frac{4}{3})$

B
Ако $D$ на $(1)$ е положителна, то тогава ще трябва $y_{1,2}>1$. Тогава решенията ще са $y\in(1;y_1)\cup(y_2;+\infty)$ и условието (2) ще е изпълнено.
Тук имаме системата

$\begin{cases} a> 0 \\ f(1)>0\\-\frac{b}{2a}>1\\D>0 \end{cases}$ с решение $a\in(\frac{5}{6};1)\cup(\frac{4}{3};+\infty)$

Като обединим решенията от A и B, получаваме $a>\frac{5}{6}$

Нека разгледаме и случая $a<0$ Тогава, за да е изпълнено за всяко у, то трябва $D<0$, но този случай няма решение, следователно няма смисъл да разглеждаме и $D>0$.

Окончателно решение $a>\frac{5}{6}$

[Добромир Глухаров]

Трябваше да добавя и абсцисата на върха на параболата $\frac{2-2a}{a}<1\Rightarrow a>\frac{2}{3}$ като помним, че $a>0$. Но окончателният отговор се запазва, понеже $\frac{2}{3}<\frac{5}{6}$

[S.B.]

Предварително искам да кажа,че сигурно някъде греша,но не мога да разбера къде.Ще бъда благодарна на всеки,който ми посочи грешката!
а.[tex]4^{x^{2}}[/tex] + (а - 1).[tex]2^{x^{2}+ 2}[/tex] + а - 1 >0[tex]\Leftrightarrow[/tex] а.[tex]2^{2x^{2}}[/tex] + 4.(а - 1).[tex]2^{x^{2}}[/tex] + а - 1 >0
Нека [tex]2^{x^{2}}[/tex] = t [tex]\ge[/tex]1 и получавам : а[tex]t^{2}[/tex] + 4.(a - 1).t + a - 1>0 ; За да бъде изпълнено това за [tex]\forall[/tex]t трябва [tex]\begin{cases} D< 0 \\ a > 0 \end{cases}[/tex]
D= 16[tex](а - 1)^{2}[/tex] - 4.а.(а - 1) =4(а - 1)[4(a - 1) - a] = 4(a - 1)(3a - 4)=[tex]\frac{4}{3}[/tex](a - 1)(a - [tex]\frac{4}{3}[/tex])<0 и се получава а[tex]\in[/tex](1;[tex]\frac{4}{3}[/tex])
От друга страна ако f(t) = a[tex]t^{2}[/tex] +4(a - 1)t +a - 1 тогава трябва [tex]\begin{array}{|l} f(1)>0 \\ -\frac{4(a - 1)}{2a} < 1 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} a + 4a -4 + a - 1> 0 \\ \frac{2(a - 1)}{a} > -1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a> \frac{5}{6} \\ a > \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex]; +[tex]\infty[/tex]) ,но получихме и ,че а[tex]\in[/tex](1;[tex]\frac{4}{3}[/tex]),обаче [tex]\frac{4}{3}[/tex] = [tex]\frac{8}{6}[/tex]>[tex]\frac{5}{6}[/tex] и тогава : а[tex]\in[/tex]( [tex]\frac{5}{6}[/tex] ; [tex]\frac{4}{3}[/tex]) ,а не а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex] ; +[tex]\infty[/tex])
Къде греша?

[123a]

Предварително искам да кажа,че сигурно някъде греша,но не мога да разбера къде.Ще бъда благодарна на всеки,който ми посочи грешката!
а.[tex]4^{x^{2}}[/tex] + (а - 1).[tex]2^{x^{2}+ 2}[/tex] + а - 1 >0[tex]\Leftrightarrow[/tex] а.[tex]2^{2x^{2}}[/tex] + 4.(а - 1).[tex]2^{x^{2}}[/tex] + а - 1 >0
Нека [tex]2^{x^{2}}[/tex] = t [tex]\ge[/tex]1 и получавам : а[tex]t^{2}[/tex] + 4.(a - 1).t + a - 1>0 ; За да бъде изпълнено това за [tex]\forall[/tex]t трябва [tex]\begin{cases} D< 0 \\ a > 0 \end{cases}[/tex]
D= 16[tex](а - 1)^{2}[/tex] - 4.а.(а - 1) =4(а - 1)[4(a - 1) - a] = 4(a - 1)(3a - 4)=[tex]\frac{4}{3}[/tex](a - 1)(a - [tex]\frac{4}{3}[/tex])<0 и се получава а[tex]\in[/tex](1;[tex]\frac{4}{3}[/tex])
От друга страна ако f(t) = a[tex]t^{2}[/tex] +4(a - 1)t +a - 1 тогава трябва [tex]\begin{array}{|l} f(1)>0 \\ -\frac{4(a - 1)}{2a} < 1 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} a + 4a -4 + a - 1> 0 \\ \frac{2(a - 1)}{a} > -1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a> \frac{5}{6} \\ a > \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex]; +[tex]\infty[/tex]) ,но получихме и ,че а[tex]\in[/tex](1;[tex]\frac{4}{3}[/tex]),обаче [tex]\frac{4}{3}[/tex] = [tex]\frac{8}{6}[/tex]>[tex]\frac{5}{6}[/tex] и тогава : а[tex]\in[/tex]( [tex]\frac{5}{6}[/tex] ; [tex]\frac{4}{3}[/tex]) ,а не а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex] ; +[tex]\infty[/tex])
Къде греша?

Върхът на параболата трябва да е по-голям от 1, а вие го написахте, че е <1. А и ние обединяваме, не засичаме при двата случая за Д при a>0. Също така във втората система не сте добавили Д>0.

[Knowledge Greedy]

Предварително искам да кажа,че сигурно някъде греша,но не мога да разбера къде.Ще бъда благодарна на всеки,който ми посочи грешката!
... За да бъде изпълнено това за [tex]\forall t[/tex] трябва [tex]\begin{array}{|l} D<0 \\ a>0 \end{array}[/tex] ....
Къде греша?

Да, но е възможно и [tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ a>0 \\ t\ge 1 \end{array}[/tex].

[S.B.]

Благодаря!

[S.B.]

Полагаме $2^{x^2}=y$, $y>1$ за всяко х.

Получаваме $ay^2+4(a-1)y+a-1>0(1)$

Задачата се свежда до това да намерим стойностите на параметъра а, за които (1) е изпълнено за всяко $y>1(2)$ .

Нека рагледаме случая ,при който $a>0$.

A
Тогава, ако $D$ на $(1)$е отрицателна, то $(1)$ е изпълнено за всяко $у$, значи ще бъде изпълнено и за всяко $y>1$
Сега имаме системата [tex]\begin{cases} a > 0 \\ 4(3a^2-7a+4)< 0 \end{cases}[/tex] с решение $a\in(1;\frac{4}{3})$

B
Ако $D$ на $(1)$ е положителна, то тогава ще трябва $y_{1,2}>1$. Тогава решенията ще са $y\in(1;y_1)\cup(y_2;+\infty)$ и условието (2) ще е изпълнено.
Тук имаме системата

$\begin{cases} a> 0 \\ f(1)>0\\-\frac{b}{2a}>1\\D>0 \end{cases}$ с решение $a\in(\frac{5}{6};1)\cup(\frac{4}{3};+\infty)$

Като обединим решенията от A и B, получаваме $a>\frac{5}{6}$

Нека разгледаме и случая $a<0$ Тогава, за да е изпълнено за всяко у, то трябва $D<0$, но този случай няма решение, следователно няма смисъл да разглеждаме и $D>0$.

Окончателно решение $a>\frac{5}{6}$

Извинявай,но не разбрах как от отговор А[tex]\cup[/tex]отговор В [tex]\rightarrow[/tex] а>[tex]\frac{5}{6}[/tex]
Или по-точно:(ще използвам,че [tex]\frac{4}{3}[/tex] = [tex]\frac{8}{6}[/tex]) как от а[tex]\in[/tex](1 ; [tex]\frac{8}{6}[/tex]) [tex]\cup[/tex] а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex] ; 1)[tex]\cup[/tex]([tex]\frac{8}{6}[/tex]; +[tex]\infty[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] а>[tex]\frac{5}{6}[/tex]?

[123a]

Полагаме $2^{x^2}=y$, $y>1$ за всяко х.

Получаваме $ay^2+4(a-1)y+a-1>0(1)$

Задачата се свежда до това да намерим стойностите на параметъра а, за които (1) е изпълнено за всяко $y>1(2)$ .

Нека рагледаме случая ,при който $a>0$.

A
Тогава, ако $D$ на $(1)$е отрицателна, то $(1)$ е изпълнено за всяко $у$, значи ще бъде изпълнено и за всяко $y>1$
Сега имаме системата [tex]\begin{cases} a > 0 \\ 4(3a^2-7a+4)< 0 \end{cases}[/tex] с решение $a\in(1;\frac{4}{3})$

B
Ако $D$ на $(1)$ е положителна, то тогава ще трябва $y_{1,2}>1$. Тогава решенията ще са $y\in(1;y_1)\cup(y_2;+\infty)$ и условието (2) ще е изпълнено.
Тук имаме системата

$\begin{cases} a> 0 \\ f(1)>0\\-\frac{b}{2a}>1\\D>0 \end{cases}$ с решение $a\in(\frac{5}{6};1)\cup(\frac{4}{3};+\infty)$

Като обединим решенията от A и B, получаваме $a>\frac{5}{6}$

Нека разгледаме и случая $a<0$ Тогава, за да е изпълнено за всяко у, то трябва $D<0$, но този случай няма решение, следователно няма смисъл да разглеждаме и $D>0$.

Окончателно решение $a>\frac{5}{6}$

Извинявай,но не разбрах как от отговор А[tex]\cup[/tex]отговор В [tex]\rightarrow[/tex] а>[tex]\frac{5}{6}[/tex]
Или по-точно:(ще използвам,че [tex]\frac{4}{3}[/tex] = [tex]\frac{8}{6}[/tex]) как от а[tex]\in[/tex](1 ; [tex]\frac{8}{6}[/tex]) [tex]\cup[/tex] а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex] ; 1)[tex]\cup[/tex]([tex]\frac{8}{6}[/tex]; +[tex]\infty[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] а>[tex]\frac{5}{6}[/tex]?

$a\in(\frac{5}{6};1)\cup(1;\frac{4}{3})\cup (\frac{4}{3};+\infty)$, откъдето следва, че $a>\frac{5}{6}$

[S.B.]

Да, а>[tex]\frac{5}{6}[/tex] т,е.а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex]; +[tex]\infty[/tex]),но за а[tex]\ne[/tex]1 и а[tex]\ne[/tex][tex]\frac{4}{3}[/tex],така ли?

[123a]

S.B, разгледайте това http://umk.portal.kemsu.ru/uch-mathemat ... bie/t1.htm

[S.B.]

S.B, разгледайте това http://umk.portal.kemsu.ru/uch-mathemat ... bie/t1.htm

Tова съм го чела преди 50 години,когато бях студентка.А твоят отговор на задачата е:
а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex],+[tex]\infty[/tex]) за [tex]\forall[/tex]а [tex]\ne[/tex] 1 и [tex]\forall[/tex]а [tex]\ne[/tex][tex]\frac{4}{3}[/tex],което е различно от [tex]\forall[/tex]а>[tex]\frac{5}{6}[/tex]

[123a]

S.B, разгледайте това http://umk.portal.kemsu.ru/uch-mathemat ... bie/t1.htm

Tова съм го чела преди 50 години,когато бях студентка.А твоят отговор на задачата е:
а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{5}{6}[/tex],+[tex]\infty[/tex]) за [tex]\forall[/tex]а [tex]\ne[/tex] 1 и [tex]\forall[/tex]а [tex]\ne[/tex][tex]\frac{4}{3}[/tex],което е различно от [tex]\forall[/tex]а>[tex]\frac{5}{6}[/tex]

Извинявам се, ако прозвуча грубо от моя страна.
Ще се опитам да обясня така: Ние обединяваме решения от два подслучая. $a\in(\frac{5}{6};1)\cup(1;\frac{4}{3})\cup(\frac{4}{3};+\infty)$ не се получава от решаване на само една система, а от обединяване на решения. Ако заместим с a=1 в неравенството от условието, се получава $4^{x^2}>0$, което е вярно и откъдето следва, че а=1 е решение. Друго щеше да бъде ако имахме системата $\begin{cases} a> \frac{5}{6} \\ (a-1)^2> 0 \end{cases}$

[S.B.]

От всичко това научих,че ако един интервал е отворен,то той включва и краищата на интервала. Явно човек се учи докато е жив!