Показателно неравенство

[Hephaestus]

Да се реши неравенството [tex](x^{2} + x - 2)^{x^{2} - x - 2} > 0[/tex]

[Nathi123]

[tex](x^{2}+x-2)^{x^{2}-x-2}>(x^{2}+x-2)^{0}[/tex].
І. сл.[tex]\begin{array}{|l} x^{2}+x-2>0 \\ x ^{2} +x -2 <1 \\ x^{2}-x-2<0 \end{array}\Leftrightarrow x\in (1, \frac{-1+\sqrt{13}}{2})[/tex].
ІІ. сл. [tex]\begin{array}{|l}x ^{2} +x -2 >1 \\ x^{2}-x-2>0 \end{array} \Leftrightarrow x\in (-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\cup (2,\infty )\Rightarrow[/tex]
[tex]x\in (1, \frac{-1+\sqrt{13}}{2})\cup(-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\cup (2,\infty )[/tex].

[123a]

Не претендирам за пълно решение

$(x^{2} + x - 2)^{x^{2} - x - 2} > 0$

Неравенството ще е изпълнено за всяко $x\ne-2;1;$,защото нещо което не е 0, на каквато и степен да е, винаги е положително

При директна проверка се установява, че $x=0$ e решение, защото $(-2)^{-2}>0$

$x^2-x-2=0$ също е решение,т.е $x=-1;2$ , защото нещо на нулева степен е единица.

[Davids]

защото нещо което не е 0, на каквато и степен да е, винаги е положително

С това няма как да се съглася. Отрицателна основа само ма четна степен става полоцително число. Въпросът е как определяме степенния показател като „четен“ - доколко навлизаме в дробта или пък търсим само цели стойности... Иначе другият случай е ясен - при положителна основа ни урежда всякакъв степенен показател... Но при отрицателна основа - само четна степен. Въпросът е как дефинираме $x^2 - x - 2$ да е четно число... А може би не можем, и затова изключваме случая (както логаритъм при отрицателна основа, предполагам). Не знам

[Петър Евгениев]

[tex](x^{2}+x-2)^{(x^{2}-x-2)}>0[/tex], единствената забрана би била [tex]0^{0}[/tex], тогава е недефинирано, т.е когато и двата квадратни тричелна има общ корен, след решаване на тричлените се вижда, че нямат.
Затова решавам, кога основата е положително число:[tex]x^{2}-x-2>0 \Rightarrow x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)[/tex], положително число на каквато и да било степен ще бъдеп положително.
Ако заместим с [tex]x=0 \Rightarrow (-2)^{-2}=\frac{1}{4}>0[/tex], също с [tex]x=-1 \Rightarrow (-2)^{0}>0[/tex]
След обединение се получава [tex]x\in(-\infty;-2)\cup(-1)\cup(0)\cup(1;+\infty)[/tex]

[Hephaestus]

До отговора най-много се доближава Петър Евгениев - [tex]x \in (-\infty ; -2)[/tex] [tex]\cup[/tex] {[tex]-1[/tex]} [tex]\cup[/tex] { [tex]0[/tex] } [tex]\cup[/tex] [tex](1; +\infty )[/tex] - и има само още едно число, което удовлетворява условието, и то е [tex]x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}[/tex].

Въпросът, който е поставил Davids, е много правилен. Как, когато основата е отрицателна, дефинираме [tex]x^2 - x - 2[/tex] да е четно число? В случая това можем да го определим, ако никой не даде идея, ще споделя моята малко по-късно.

[Hephaestus]

[tex](x^{2} + x - 2)^{x^{2} - x - 2} > 0[/tex]

[tex]I.[/tex] При [tex]x^{2} + x - 2 > 0[/tex] неравенството винаги е изпълнено, независимо от степента [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2} + x - 2 > 0 \Rightarrow (x + 2)(x - 1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty ; -2)[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex](1; +\infty )[/tex]

[tex]II.[/tex] При [tex]x^{2} + x - 2 < 0[/tex] неравенството ще е изпълнено само когато степента [tex]x^{2} - x - 2[/tex] е четно число.
[tex]x^{2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow x \in (-2; 1)[/tex]. Значи ще искаме [tex]x^{2} - x - 2[/tex] да дава резултат четно число, когато [tex]x \in (-2; 1)[/tex].

[tex]x^{2} - x - 2 = c \Rightarrow x^{2} - x - 2 - c = 0[/tex]. Първо ще намерим множеството от стойности на параметъра [tex]c[/tex], за които уравнението има един или два корена в интервала [tex](-2; 1)[/tex] и след като получим тези стойности, ще разгледаме случаите за четните числа от получения интервал (ако има такива, но се очаква да има).
[tex]f(x) = x^{2} - x - 2 - c[/tex] ще има един или два корена в интервала [tex](-2; 1)[/tex], когато

[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0 \\ f(-2) > 0 \\ f(1) > 0 \\ -2 < \frac{1}{2} < 1 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]f(-2).f(1) < 0[/tex]
[tex]\Rightarrow c \in [-\frac{9}{4} ; -2) \cup (-2; 4)[/tex] - с непосредствена проверка за [tex]c = -2[/tex] получаваме, че е валидна стойност.
Сега ни интересуват четните стойности на [tex]c[/tex] от получения интервал [tex][-\frac{9}{4} ; 4)[/tex], т.е. [tex]c =[/tex] {[tex]-2; 0; 2[/tex]}

[tex]II.[/tex] [tex]1.[/tex] [tex]c = -2 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = -2 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x_{1 } = 0, x_{2 } = 1[/tex]. Само [tex]x = 0 \in (-2; 1)[/tex]

[tex]II.[/tex] [tex]2.[/tex] [tex]c = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_{1 } = 2, x_{2 } = -1[/tex]. Само [tex]x = -1 \in (-2; 1)[/tex]

[tex]II.[/tex] [tex]3.[/tex] [tex]c = 2 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 2 \Rightarrow x^{2} - x - 4 = 0 \Rightarrow x_{1,2 } = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}[/tex]. Само [tex]x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \in (-2; 1)[/tex].

Следователно множеството от решенията на неравенството е [tex]x \in (-\infty ; -2)[/tex] [tex]\cup[/tex] {[tex]-1[/tex]} [tex]\cup[/tex] {[tex]0[/tex]} [tex]\cup[/tex] {[tex]\frac{1 - \sqrt{17}}{2}[/tex]} [tex]\cup[/tex] [tex](1; +\infty )[/tex].