Неравенство за доказване

[titi0021]

За положителните числа x и y е изпълнено неравенството:
[tex]x^{2}[/tex] + [tex]y^{3}[/tex] [tex]\ge[/tex] [tex]x^{3}[/tex] + [tex]y^{4}[/tex] ,
докажете, че [tex]x^{3}[/tex] + [tex]y^{3}[/tex] [tex]\le[/tex] 2.

[peyo]

За положителните числа x и y е изпълнено неравенството:
[tex]x^{2}[/tex] + [tex]y^{3}[/tex] [tex]\ge[/tex] [tex]x^{3}[/tex] + [tex]y^{4}[/tex] ,
докажете, че [tex]x^{3}[/tex] + [tex]y^{3}[/tex] [tex]\le[/tex] 2.

Я на каква интересна нерешена задача попаднах.!
Да разместим малко неравенството:

$x^{2} + y^{3} \ge x^{3} + y^{4} $

$x^{2} - x^{3} + y^{3} - y^{4}\ge 0 $

$x^{2}(1 - x) + y^{3}(1 - y) \ge 0 $

И сега какво имаме тук? Сбора на две различни функции трябва да е по-голям от 0. Ако x и y са между 0 и 1 всичко е наред, така и $x^{3}+ y^{3}\le 2$ излиза веднага.

Но ако x или y са по-големи от 1 то сътвветната функция стаа по-малка от 0. Така не може и двете да са по-големи, Ако x e по-голямо от 1, то y трябва да е по-малко за да компенсира. Да видим максимумите на двете функции:

$(x^{2} - x^{3})' = 2x - 3x^2 = x(2-3x)$

И виждаме, че има екстремум при x=2/3 Който е максимум о е равен на:
$fx_{max}=(2/3)^2 - (2/3)^3=0.1481481481481482$

Аналогично за y:
$(y^{3} - y^{4})' = 3y^2 - 4x^3 = y^2(3-4y)$

И виждаме, че има екстремум при y=3/4 Който е максимум и е равен на:
$fy_{max}=(3/4)^3 - (3/4)^4=0.10546875$

И сега да се върнем на:
$x^{2}(1 - x) + y^{3}(1 - y) \ge 0 $

Когато x e по-голямо от 1 ше имаме:
$x^{2}(1 - x) +0.10546875 \ge 0 $

Колко най-много може да е x за да бъде компенсирано от дясно? За да намерим отговора трябвва да решим кубичното уравнение:
$x^{2}(1 - x) +0.10546875 = 0 $

Но няма нужда, защото просто ще отгатнем, че сигурно ще е нещо само малко по-голямо от 1. Ако x=1.1:
$1.11^{2}(1 - 1.11)=--0.121$
Това е по-голямо и не може да се компенсира от +0.10546875. Значи x ще е по-малко от 1.1. Но дори и при 1.1:

$1.1^3 + (3/4)^3 = 1.7528750000000004 \le 2$

Да видим и случая за y:
$0.1481481481481482 + y^{3}(1 - y) \ge 0 $

Ако y=1.15:
$1.15^3(1- 1.15)=-0.22813124999999979$

Не може да се компенсира от +0.1481481481481482. Но дори и при y=1.15:

$(2/3)^3 + (1.5)^3 = 1.8171712962962958 \le 2$

С което разгледхаме всички случаи и доказахме твърдението.

Товва доказателство изглежда малко странно и подозирам, че има и по-просто решение и ако някой се сети ще се радвам да го видя.

[Гост]

Здравейте.
Малък коментар от мен.
Според мен предложените по-горе разсъждения от peyo не могат да се приемат за доказателство. Ще опитам да обясня защо е така.

С което разгледхаме всички случаи и доказахме твърдението.

Това, което е доказано е само за случая [tex]x\le1, y\le1[/tex], който е тривиален. Твърдението не е доказано. Трудните за доказване случаи са:
1-ви случай, x<1, y>1;
2-ри случай, x>1, y<1.
По-горе peyo в изложението си неявно предполага, че ако x<1, то [tex]x\le2/3[/tex], защото функцията .(x)=[tex]x^{2}-x^{3}[/tex] има максимум при x=2/3 и че ако y<1, то [tex]y\le3/4[/tex], защото функцията .(y)=[tex]y^{3}-y^{4}[/tex] има максимум при y=3/4. Тези предположения не са верни. Да разгледаме случай 1. x<1, y>1. Това, че за конкретната стойност на x, x=2/3 е установена верността на неравенството, не значи, че е установена за всички възможни стойности на x.В споменатите по-горе от мен два случая при конкретна стойност на x (ако y е променлива) или при конкретна стойност на y (ако x е променлива) сборът [tex]x^{3}+y^{3}[/tex] достига максимум, когато неравенството става равенство, т.е. когато имаме
[tex]x^{2}+y^{3}=x^{3}+y^{4}[/tex]. (ф1)
Което е отбелязано по-горе от peyo.
Ако приемем, че между x и y е в сила зависимостта (ф1), то следва, че сборът [tex]x^{3}+y^{3}[/tex] може да се представи като функция на един аргумент, защото ако изберем едната от величините x и y за променлива, другата ще има конкретна стойност. Нека вземем за независима променлива x. Граничният случай (екстремален!) е x=1, y=1, тогава [tex]x^{3}+y^{3}[/tex]=2. От там като намаляваме x, y се увеличава. И въпросът е как се променя тогава [tex]x^{3}+y^{3}[/tex]. Случаят x=2/3 е екстремален за функцията .(x)=[tex]x^{2}-x^{3}[/tex], но откъде следва, че е екстремален за функцията .(x)=[tex]x^{3}+y^{3}[/tex] ? От никъде. Ако [tex](2/3)^{3}+1.15^{3}\le2[/tex], от това въобще не следва, че за всяко x и всяко y е изпълнено [tex]x^{3}+y^{3}\le2[/tex]. Може да има x и y такива, че 2/3<x<1<y, за които е изпълнена (ф1) и [tex]x^{3}+y^{3}>2[/tex]. Ако няма - то трябва да се докаже.
И така считаме, че независимата променлива е x, а y и всяка друга функция g(x,y) разглеждаме като функции на x. Т.е. за всяка такава g(x,y) ще разглеждаме f(x), определена като f(x)=g(x,y(x)).
Още едно уточнение. Да разгледаме частния случай на 1-ви случай, когато 0<x[tex]\le2/3[/tex]. Тогава [tex]x^{2}-x^{3}[/tex] е растяща спрямо x, от (ф1) получаваме, че [tex]y^{4}-y^{3}[/tex] е растяща спрямо x. При 0<x[tex]\le2/3[/tex] имаме y>0, а в областта y>0 функцията [tex]y^{4}-y^{3}[/tex] е растяща спрямо y. Следователно в областта 0<x[tex]\le2/3[/tex] функцията y е растяща спрямо x. Следователно [tex]y^{3}[/tex] е растяща. И тъй като и [tex]x^{3}[/tex] е растяща, то и сборът [tex]x^{3}+y^{3}[/tex] е растяща функция спрямо x. При x>2/3 има промяна. Там, както не е трудно да се установи, [tex]x^{2}-x^{3}[/tex] е намаляваща спрямо x, [tex]y^{4}-y^{3}[/tex] е намаляваща спрямо x, и y е намаляваща спрямо x. Имаме растяща [tex]x^{3}[/tex] и намаляваща [tex]y^{3}[/tex]. Тогава само от тези данни не можем да определим [tex]x^{3}+y^{3}[/tex] дали е растяща или намаляваща. Трябва да се търси друг начин. Поради гореизложените съображения изложението, дадено от peyo, не може да бъде прието за доказателство.
Аз предлагам следното решение. Идеята е да се разгледат y=y(x) и сбора s(x)=[tex]x^{3}+y^{3}[/tex] като функции на независимата променлива x и чрез изследване на производни да се установи, че g(x) има максимум при x=1.
Лема 1. В областта на реалните положителни числа (x>0) съществува единствено решение на уравнението
[tex]x^{3}-x^{2}-\frac{27}{256}=0[/tex]. Да означим това число с A. При това: A>1.
Край на лема 1.
Лема 2. В областта на реалните положителни числа (x>0) съществува единствено решение на уравнението
[tex]x^{4}-x^{3}-\frac{4}{27}=0[/tex]. Да означим това число с B. При това: 1<B<3/2.
Край на лема 2.
Лема 3. За [tex]\forall[/tex] реално число x, 0<x[tex]\le[/tex]A, [tex]\exist[/tex] единствено число y такова, че 3/4[tex]\le[/tex]y и [tex]x^{2}+y^{3}=x^{3}+y^{4}[/tex]. При това:
за 0<x<1 [tex]\Rightarrow[/tex] 0<y<[tex]\le[/tex]B;
за x=1 [tex]\Rightarrow[/tex] y=1;
за 1<x<A [tex]\Rightarrow[/tex] 3/4<y<1;
за x=A [tex]\Rightarrow[/tex] y=3/4.
Край на лема 3.
Доказателствата на горните три леми са елементарни.
Да разгледаме y като неявна функция на x, зададена с (ф1), с дефиниционна област 0<x[tex]\le[/tex]A. Лема 3 показва, че тази функция е еднозначна.
В решението използвам факта, че за конкретна стойност на променливата x максимална стойност на s(x) се получава, когато е изпълнено равенство (ф1). А това е така, защото в областта 3/4[tex]\le[/tex]y[tex]\le[/tex]B функцията [tex]y^{4}-y^{3}[/tex] е растяща. Да въведем функция s: s(x)=[tex]x^{3}+(y(x))^{3}[/tex] с дефиниционна област 0<x[tex]\le[/tex]A.
Диференцираме (ф1) по x, намираме y', намираме s'.
[tex]2x-3x^{2}+3y^{2}y'-4y^{3}y'=0[/tex];
[tex]y'=\frac{x(2-3x)}{y^{2}(4y-3)}[/tex];
[tex]s'=(x^{3}+y^{3})'=3x^{2}+3y^{2}y'[/tex]
[tex]s'=3x^{2}+\frac{3x(2-3x)}{4y-3}[/tex]
[tex]s'=6x\frac{(2y-3)x+1}{4y-3}[/tex]
Да изследваме знака на s'.
Случай 1. За x=1 [tex]\Rightarrow[/tex] s'=0.
Случай 2. За 0<x<1 [tex]\Rightarrow[/tex] 1<y<[tex]\le[/tex]B<3/2.
[tex]\Rightarrow s'=6x\frac{(2y-3)x+1}{4y-3}[/tex]>0.
Случай 3. За 1<x<A [tex]\Rightarrow[/tex] 3/4<y<1.
[tex]\Rightarrow s'=6x\frac{(2y-3)x+1}{4y-3}[/tex]<0.
Случай 4. За x=A [tex]\Rightarrow[/tex] y=3/4. Тогава s' не съществува, защото знаменателят на s' се обръща в 0 (и g' се обръща в безкрайност), но ясно е, че s(A)<2.

[tex]\Rightarrow[/tex] s(x) има максимум за x=1, който е s(1)=2.
Което и трябваше да се докаже.

Коментар. Интересна задача. Не можах да се сетя за по-просто доказателство. Много ще се радвам да видя по-просто доказателство, без производни, диференциали и интеграли. Пусналият задачата не казва от къде е взета. Същата задача е пусната като задача 5 в следната тема със заглавие "Неравенства за извънкласна работа". Но там досега никой не е предложил решение.

Щом е дадена за ученици, вероятно има някакво по-просто (и може би по-кратко?) доказателство? Ако някой знае друго решение, моля да сподели.