Докажете, че a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac > 6

[DekataBG]

Нека [tex]a, b, c[/tex] са неотрицателни реални числа, такива че [tex]a +b +c = 3[/tex].
Докажете, че [tex]a^{2} + b^{2} + c^{2} + ab + bc + ac \ge 6[/tex]

[Davids]

Преобразуваме:
$2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac) \ge 12$
$a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 \ge 12$
$(a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 \ge 12$
$(3 - c)^2 + (3 - a)^2 + (3 - b)^2 \ge 12$
$9 - 6c + c^2 + 9 - 6a + a^2 + 9 - 6b + b^2 \ge 12$
$a^2 + b^2 + c^2 \ge 3$

Което можем да докажем тривиално с малко размисъл: Щом трите числа са неотрицателни със сбор 3, то значи или са равни на 1, или ако някое е по-малко от 1, то другото е с разликата по-голямо от 1.

Сиреч, взимаме две константи $x$ и $y$ в интервала $[-\frac{1}{2}; 1]$, тогава $a = 1 - x; b = 1 - y; c = 1 + x + y$.

Неравенството става:
$(1 - x)^2 + (1 - y)^2 + (1 + x + y)^2 \ge 3$
$3 - 2x - 2y + 2(x + y) + x^2 + y^2 + (x + y)^2 \ge 3$
$2(x^2 + xy + y^2) \ge 0$

Което е в сила за всички х и у в интервала ни.

[Sup3rlum]

Нека разгледаме:

$K=a^2+b^2+c^2 +ab+bc+ac=(a+b+c)^2-ab-bc-ca$
$=9-ab-(a+b)c$

Знаем, че

$a+b+c=3 \Rightarrow c = 3 - a -b$

$K=9-ab-(a+b)(3-a-b)$

$K=a^2+b^2+ab-3a-3b+9$

За да намерим минималната стойност на $k(a,b)$, търсим $\nabla k = (k_a, k_b) = (0,0)$

$\nabla k = (2a+b-3, 2b+a-3) = (0,0) $


$\begin{array}{|l} 2a+b = 3 \\ 2b+a =3 \end{array}$

За тази система решенията са $a =1, b=1 \Rightarrow c=1$

Има няколко начина да се уверим, че този екстремум е максимум, ама за сега е достатъчно само да спомена, че за $k$ двете променливи са от втора степен и с положителен коефицент.

От тук пресмятаме минималната стойност за $k(1,1) = 1+1+1-3-3+9=6$

$\boxed{\Rightarrow K \ge 6}$


Задачи от този тип, дали имат лесно алгебрично решение или не са винаги от един и същи тип. Така наречените "оптимизации" и винаги се решават по един и същи начин и имат една и съща форма:

Дават ти зависимост между няколко (примерно 3) променливи и константа, т.е ограничение, и после ти дават някаква функция с тези три променливи и те питат за минимум/максимум, и в този случай просто ще търсиш стойностен максимум на функция с една променлива по-малко (защото изразяваш една от тях спрямо ограничението и останалите)

[pal702004]

Лесно се доказава по-общото твърдение (на което даденото е следствие):

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge \dfrac 2 3 (a+b+c)^2$

което е вярно не само за неотрицателни числа.

[ptj]

Преобразуваме:
$2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac) \ge 12$
$a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 \ge 12$
$(a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 \ge 12$
$(3 - c)^2 + (3 - a)^2 + (3 - b)^2 \ge 12$
$9 - 6c + c^2 + 9 - 6a + a^2 + 9 - 6b + b^2 \ge 12$
$a^2 + b^2 + c^2 \ge 3$

Което можем да докажем тривиално с малко размисъл: Щом трите числа са неотрицателни със сбор 3, то значи или са равни на 1, или ако някое е по-малко от 1, то другото е с разликата по-голямо от 1.

Сиреч, взимаме две константи $x$ и $y$ в интервала $[-\frac{1}{2}; 1]$, тогава $a = 1 - x; b = 1 - y; c = 1 + x + y$.

Неравенството става:
$(1 - x)^2 + (1 - y)^2 + (1 + x + y)^2 \ge 3$
$3 - 2x - 2y + 2(x + y) + x^2 + y^2 + (x + y)^2 \ge 3$
$2(x^2 + xy + y^2) \ge 0$

Което е в сила за всички х и у в интервала ни.

Втората част може да я съкратиш до един ред като използваш неравенство между средно квадратично и средно аритметично.

[nikola.topalov]

От неравевството на Коши-Шварц имаме
[tex]6=(a+b)+(b+c)+(c+a) \le \sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}[/tex]
или с други думи
[tex](a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\geq 12[/tex]
Разкрий скобите и ще получиш отговора.