Система параметрични неравенства

[S.B.]

За кои стойности на реалния параметър $m$ , системата неравенства
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + (m^{2} + 1)y^{2} \ge 2xy + m + 1\\ x^{2} + (m + 1)xy + y^{2}\ge 0\end{array}[/tex]
се удовлетворява за всички реални стойности на $x$ и $y$ ?

[Davids]

За кои стойности на реалния параметър $m$ , системата неравенства
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + (m^{2} + 1)y^{2} \ge 2xy + m + 1\\ x^{2} + (m + 1)xy + y^{2}\ge 0\end{array}[/tex]
се удовлетворява за всички реални стойности на $x$ и $y$ ?

Второто неравенство е хомогенно, т.е. делим двете страни на $y^2 \ne 0$ (а при $y = 0$ така или иначе е валидно за всички $(x, y)$), полагаме $t = \frac{x}{y}$ и получаваме:
$t^2 + (m + 1)t + 1 \ge 0$

Класическо неравенство, винаги в сила при $m \in [-3; 1]$.

Връщаме се в първото уравнение, правим аналогичното и достигаме до:
$t^2 - 2t + m^2 + 1 > \frac{m + 1}{y^2}$

Дискриминантата на лявата част е $D = -4m^2 \le 0 \forall m$, следователно цялата лява част винаги е неотрицателна. Т.е. неравенството е в сила $\forall (x, y)$ при $m < -1$.

Окончателният отговор на задачата тогава ще е $m \in [-3; -1)$

[Гост]

Уточнение. Числото -1 също се включва в множеството решения на задачата.