Нелинейно неравенство

[Theoretical_Alpinist]

Здравейте,

опитвам се от известно време да реша следното неравенство за х:
[tex]8x+2z-2x^3+x^2z>0[/tex] ,

като x и z удоволетворяват равенството [tex]x^2+2xz+4z^2-3=0[/tex]

Това, което опитвах безуспешно е да изразя z чрез x от равенството и да заместя в неравенството. Със сигурност задачата има аналитично решение.

Решението на тази задача има връзка със спектъра на определен клас елементарни частици.

Благодаря!

[peyo]

Здравейте,

опитвам се от известно време да реша следното неравенство за х:
[tex]8x+2z-2x^3+x^2z>0[/tex] ,

като x и z удоволетворяват равенството [tex]x^2+2xz+4z^2-3=0[/tex]

Това, което опитвах безуспешно е да изразя z чрез x от равенството и да заместя в неравенството. Със сигурност задачата има аналитично решение.

Решението на тази задача има връзка със спектъра на определен клас елементарни частици.

Благодаря!

Как съм пропуснал тази забавна задачка?!

От:
[tex]x^2+2xz+4z^2-3=0[/tex]

[tex]x^2=3 - 2xz-4z^2[/tex]
[tex]x^3=3x - 2x^2z-4xz^2[/tex]

Заместваме в:
[tex]8x+2z-2x^3+x^2z>0[/tex]

[tex]8x+2z-2(3x - 2x^2z-4xz^2)+x^2z>0[/tex]
[tex]8x+2z-6x - 4x^2z-8xz^2+x^2z>0[/tex]
[tex]4 x^{2} z + x(8 z^{2} + 2 z + 2) + 2 z>0[/tex]

Нулите на квадратното уравнение са:
$\left [ \frac{1}{4 z} \left(- 4 z^{2} - z + \sqrt{16 z^{4} + 8 z^{3} + z^{2} + 2 z + 1} - 1\right), \quad - \frac{1}{4 z} \left(4 z^{2} + z + \sqrt{16 z^{4} + 8 z^{3} + z^{2} + 2 z + 1} + 1\right)\right ]$

И сега изглежда, че полинома от 4-та степен под корена няма нули:

In [54]: solve(16*z**4 + 8*z**3 + z**2 + 2*z + 1)
Out[54]:
[-1/8 + sqrt(2)/4 - I*sqrt(4*sqrt(2) + 7)/8,
-1/8 + sqrt(2)/4 + I*sqrt(4*sqrt(2) + 7)/8,
-sqrt(2)/4 - 1/8 - sqrt(-7 + 4*sqrt(2))/8,
-sqrt(2)/4 - 1/8 + sqrt(-7 + 4*sqrt(2))/8]

Да, всички корени са комплексни.

Значи за всяко z неравенството ще има интерввал/и при които ще е вярно.

[Гост]

[tex]8x+2z-2(3x - 2x^2z-4xz^2)+x^2z>0[/tex]
[tex]8x+2z-6x - 4x^2z-8xz^2+x^2z>0[/tex]
[tex]4 x^{2} z + x(8 z^{2} + 2 z + 2) + 2 z>0[/tex]

От цитираните горе три неравенства първото е вярно, второто и третото са неверни. От там и цялото следващо изложение е невярно. Като извършим в първото неравенство разкриване на скобите и групиране на подобните едночлени, получаваме:
[tex]5zx^{2}+2(4z^{2}+1)x+2z>0[/tex].
Ако z=0, решаваме линейното неравенство и намираме, че решението е всяко положително x, x>0.
Ако z не е 0, неравенството е квадратно.
[tex]D=(4z^{2}+1)^{2}-10z^{2}=(4z^{2}-\sqrt{10}z+1)(4z^{2}+\sqrt{10}z+1)[/tex].
Тогава за [tex]\forall[/tex] z: D>0.