Неравенство

[Hephaestus]

Да се реши неравенството: [tex]log_{84-2x-2x^{2 } }cosx \le log_{x+19 }cosx[/tex]

[S.B.]

\Rightarrow

Да се реши неравенството: [tex]log_{84-2x-2x^{2 } }cosx \le log_{x+19 }cosx[/tex]

$log_{84 - 2x - 2x^{2} }cosx \le log_{x + 19 }cosx $

Сменям основата с $cosx$ и получавам:

$ \frac{log_{cosx }cosx}{log_{cosx }(84 - 2x - 2x^{2})} \le \frac{log_{cosx }cosx}{log_{cosx }(x + 19)} \Leftrightarrow$

$\frac{1}{log_{cosx }(84 - 2x - 2x^{2})}\le \frac{1}{log_{cosx }(x + 19)} \Rightarrow$

$ log_{cosx }(84 - 2x - 2x^{2})\ge log_{cosx }(x + 19)$

[tex]cosx > 0 , cosx \ne 1[/tex]

$84 - 2x - 2x^{2} > 0 \Rightarrow$ $2x^{2} + 2x - 84 < 0 ,D = 26^{2} ,x_{1,2 } = \frac{-2 \pm26}{4} , x_{1 } = 6, x_{2 } = -7$
$2(x - 6)(x + 7) < 0 , x \in (-7 ; 6)$ , $x + 19 > 0 \Rightarrow x >- 19$

Получавам ДМ: $x \in ( -7 ; 6) $

$log_{cosx }(84 - 2x - 2x^{2}) \ge log_{cosx }(x + 19)$

$0<cosx<1 \Rightarrow 84 - 2x - 2x^{2} \le x + 19 \Leftrightarrow - 2x^{2} - 3x + 65 \ge 0 \Rightarrow 2x^{2} + 3x - 65 \le 0$

$D = 23^{2} , x_{1,2 } = \frac{- 3\pm 23}{4} , x_{1 } = 5 , x_{2 } = - 6,5 $

$2(x - 5)(x + 6,5) \le 0 \Rightarrow x \in (- 6,5 ; 5)$ което принадлежи на Д.М.

[Hephaestus]

Отбелязването [tex]cosx > 0, cosx \ne 0[/tex] не е достатъчно, все пак и това трябва да се има предвид при определяне на ДМ.
Например, при [tex]x = \frac{\pi}{2} \in (-6,5; 5)[/tex] функцията [tex]cosx[/tex] се нулира.
Отговорът, който е даден, е [tex](\frac{-1-\sqrt{167}}{2}; -\frac{13}{2}] \cup [5; \frac{-1+\sqrt{167}}{2}) \cup[/tex] {[tex]-2\pi, 0[/tex]}.

[Knowledge Greedy]

Още една грешка преди антилогаритмуването.

Грешка в бързината.png (15.55 KiB) Прегледано 584 пъти

За по-ясно проследете казуса:
[tex]\frac{1}{-0,5}<\frac{1}{-0,6} \,\ \Rightarrow \,\ -0,5>-0,6[/tex] e вярно,

но

[tex]\frac{1}{-0,5}<\frac{1}{0,6} \,\ \Rightarrow \,\ -0,5>0,6[/tex] e твърде … (без думи) !?

[Knowledge Greedy]

Ще разгледам само два подслучаи, в които се появява решение.

Първият - когато не можем да сменим основата (!) - когато [tex]cosx=1[/tex], а неговият логаритъм при позволени стойности на [tex]x[/tex] е нула.
Това са [tex]x_1=-2\pi[/tex] и [tex]x_2=0[/tex]

Вторият[tex]^*[/tex] - когато можем да сменим основата и получаваме системата
[tex]\left|\begin{matrix}
84-2x-2x^2 >1 \\
x+19 >1 \\
84-2x-2x^2 \le x+19 \\
0< cosx <1
\end{matrix}\right .[/tex]

Първото квадратно неравенство дава [tex]x\in \left ( -\frac{1+\sqrt{167}}{2}; \frac{-1+\sqrt{167}}{2} \right )[/tex]
Линейното неравенство от втория ред е за суматоха и получаваме [tex]x \in (-18;+\infty)[/tex]
А четвъртото [tex]x \in \bigcup_{m\in \mathbb{Z}}^{} \left ( (4m-1)\frac{\pi}{2};(4m+1)\frac{\pi}{2} \right )[/tex]

Третото неравенството дава [tex]x \in \left (-\infty;- \frac{13}{2} \right ]\cup [ 5; +\infty)[/tex] и засичането отбелязва три точки в полза на Hephaestus » Вто Мар 24, 2020 11:37 pm.
________________
[tex]^*[/tex]Не съм описал цялото решение, защото един от случаите е очевидно невъзможен, а един от случаите без решение бе описан от S.B., и по-горе направих забележка относно еквивалентността на уравненията.