Дробно неравенство - метод на интервалите

[kris_951]

Здравейте, решавам едно дробно неравенство и стигнах дотук: 3(x[tex]^{2}[/tex]-3)(x+2)(x-2)(x-1)[tex]^2[/tex][tex]\ge[/tex]0, като ДМ [tex]\ne[/tex][tex]\pm[/tex]2, 1
Използвам метода на интервалите, но не получавам дадения отговор, който е x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex]; -2)[tex]\cup[/tex][-[tex]\sqrt{3}[/tex]; 1)[tex]\cup[/tex](1; [tex]\sqrt{3}[/tex]][tex]\cup[/tex](2; [tex]\infty[/tex])
Аз получавам x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex]; -2)[tex]\cup[/tex][-[tex]\sqrt{3}[/tex]; 1)[tex]\cup[/tex][[tex]\sqrt{3}[/tex]; 2)
Ако може да ми обясните по-подробно как се стига до отговора, ще съм много благодарен!

[Knowledge Greedy]

Изглежда добре си работил, но по твоя краен отговор стигам до извода, че си приел 1 - цата за точка на смяна на знака, а това не е така. Защо? Защото и за [tex]x<1[/tex], и за [tex]x>1[/tex] изразът [tex](x-1)^2[/tex] запазва своя положителен знак, т.е. за всяко [tex]x[/tex] e изпълнено [tex](x-1)^2>0[/tex]

В Едно от решенията, които поствах, препоръчах многочлените от четна степен да се изолират в процеса на решаване, тъй като те не променят знака на цялото.

Вместо
[tex]3(x^2-3)(x+2)(x-2)(x-1)^2\ge 0[/tex]

разглеждаме [tex](x^2-3)(x+2)(x-2)\ge 0[/tex] [tex](\ast)[/tex]

Разлагаме на множители от първа степен [tex](x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+2)(x-2)\ge 0[/tex]

Разполагаме техните анулатори [tex]^{**}[/tex] върху числовата ос

Метод на интервалите.png (2.08 KiB) Прегледано 5705 пъти

След това избираме число, принадлежащо на някой от интервалите. Например 5.

Метод на интервалите2.png (2.67 KiB) Прегледано 5705 пъти

Какъвто знак получи изразът след заместването му с 5, такъв ще е знакът в целия интервал, в който се намира 5 - т.е. в [tex](2;+\infty)[/tex]

След това знаците се редуват

Метод на интервалите 3.png (2.75 KiB) Прегледано 5705 пъти

Записваме проекто-отговора.
[tex]x\in (-\infty;-2) \cup (-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup (2;\infty)[/tex]
Прецизираме, краищата на интервалите, влизат ли в отговорите - върху това влияят както дефиниционните множества, така и самото неравенство - строго ли е или нестрого.
Заради нестрогото неравенство ([tex]\ge[/tex]) би трябвало отговорът да е така

[tex]x\in (-\infty;-2) \cup [-\sqrt{3};\sqrt{3}]\cup (2;\infty)[/tex]

Но заради дефиниционното множество, трябва да изключим точките [tex]\pm[/tex] 2 и [tex]1[/tex]

Отговор. [tex]x\in (-\infty;-2) \cup [-\sqrt{3};1)\cup (1;\sqrt{3}]\cup (2;\infty)[/tex]


_______________
[tex](\ast)[/tex]
Повтарям защо. Защото [tex](x-1)^2\ge 0[/tex] и множителят [tex](x-1)^2[/tex] не влияе на знака на произведението от лявата страна.
______________
[tex]^{**}[/tex] Анулатор - число, което прави даден израз нула, при заместване с него. Анулаторът в много случаи е и точка на смяна на знака.

Да разгледаме израза [tex](x-2)[/tex]
[tex](x-2)=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x=2[/tex]

Анулатор на този израз е числото [tex]2[/tex]
Числото [tex]2[/tex] е също и точка на смяна на знака. Защо? - Защото при [tex]x>2[/tex] изразът [tex](x-2)[/tex] е положителен, а при [tex]x<2[/tex] изразът [tex](x-2)[/tex]е отрицателен.

______________
И последно - откъм символите за безкрайност [tex]\pm \infty[/tex] скобите са винаги малки.
Интервалите винаги започват [tex](-\infty ; ...[/tex] и винаги завършват [tex]...; +\infty)[/tex]