Доказване на неравенство

[Гост]

Ако може някой да ми помогне с това неравенство:

x - [tex]\frac{x^{3}}{3}[/tex] [tex]\le[/tex] arctg(x) [tex]\le[/tex] х -[tex]\frac{x^{3}}{6}[/tex], x [tex]\in[/tex] (0,1)

[Knowledge Greedy]

Образуваме функцията [tex]f(x)=x-\frac{x^3}{3}-arctgx[/tex]
Производната ѝ

[tex]f'(x)=1-x^2-\frac{1}{1+x^2}\le0[/tex] в разширеното дефиниционно множество [tex]x\in [0;1][/tex]

защото [tex]1-x^2-\frac{1}{1+x^2}\le0 \,\ x^4\ge 0[/tex]
И тъй като [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната, а нейната максимална стойност е в [tex]x=0[/tex] на този интервал, следва [tex]f(x)\le0[/tex], което е равносилно на [tex]x-\frac{x^3}{3}\le arctgx[/tex]

Дясното неравенство се доказва аналогично.
Нека [tex]g(x)=x-\frac{x^3}{6}-arctgx[/tex]

производната ѝ

[tex]g'(x)=1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{1+x^2}[/tex] e неотрицателна в интервала на разширеното дефиниционно множество [tex]x\in [0;1][/tex]

(Понеже [tex]1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{1+x^2} \ge0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in \left [ - \sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})} ; \sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})} \right ][/tex] - чиито десен подинтервал съдържа дадения интервал.)

[tex]g_{min}(x)=min g(x)=g(1)=0[/tex] и следва

[tex]arctgx \le\ x-\frac{x^3}{6}[/tex]