Неравенство, което да няма решение

[Гост]

Може ли малко помощ със следната задача:
Може ли неравенството [tex]\frac{3}{2}[/tex][tex]x^{2}[/tex]+([tex]3^{а}[/tex]-[tex]2^{а}[/tex])x+[tex]6^{a-2}[/tex] <0 да няма решение?
Благодаря предварително

[Davids]

Може. По-интересният въпрос вероятно е за кои стойности няма решение.
$\frac{3}{2}x^2 + (3^a - 2^a)x + 6^{a-2} < 0$

За да няма решение, искаме дискриминантата да е неположителна, значи:
$D = (3^a - 2^a)^2 - 4.\frac{3}{2}.6^{a-2} \le 0$
$3^{2a} - 2.6^a + 2^{2a} - 6^{a - 1} \le 0$
$3^{2a} - \frac{13}{6}6^a + 2^{2a} \le 0$

Освобождаваме от знаменател и делим почленно на $2^{2a} > 0$:
$6(\frac{3}{2})^{2a} - 13.(\frac{3}{2})^a + 1 \le 0$

Полагаме $t = (\frac{3}{2})^a > 0 \forall a\in\R$ и получаваме:
$6t^2 - 13t + 6 \le 0$

Решаваме и получаваме:
$t \in [\frac{2}{3}, \frac{3}{2}] \Leftrightarrow a \in [-1, 1]$, понеже $f(a) = (\frac{3}{2})^a$ е монотонно нарастваща функция за $a$. Та за тези стойности на $a$ нямаме решение на инициалното неравенство.