Показателно неравенство

[skadevil]

Някой може ли да ми даде насоки за решаването на това неравенство:
[tex]7^{х}[/tex]-[tex]6^{х}[/tex][tex]\ge[/tex]1

[peyo]

Някой може ли да ми даде насоки за решаването на това неравенство:
[tex]7^{х}[/tex]-[tex]6^{х}[/tex][tex]\ge[/tex]1

Кликни на скрития текст на своя отговорност!

Скрит текст: покажи

Използвай метода на математическото отгатване. В общия случай такива уравнения и неравенства нямат решение в елементарни функции.

[skadevil]

Скрит текст: покажи

Използвай метода на математическото отгатване. В общия случай такива уравнения и неравенства нямат решение в елементарни функции.

Ако отгатвам правилно трябва да е [tex]x\ge1[/tex] понеже май само за тези стойности на х неравенството ще има смисъл, като го заместим, но не знам. Не съм добър гадател

[peyo]

Скрит текст: покажи

Използвай метода на математическото отгатване. В общия случай такива уравнения и неравенства нямат решение в елементарни функции.

Ако отгатвам правилно трябва да е [tex]x\ge1[/tex] понеже май само за тези стойности на х неравенството ще има смисъл, като го заместим, но не знам. Не съм добър гадател

Напротив, отгатнал си решение, значи си много добър гадател. Но аз казах да използваш метода на математическото отгатване, а не каквото и да е. Намерил си един корен и един интервал, остава само да докажеш, че това е едиствения интервал и задачата ще е решена.

[Davids]

Можем да подходим и аналитично. Дефинираме си $f(x) := 7^x - 6^x - 1$ и търсим решения на неравенството $f(x) \ge 0$.

Набързо пресмятаме $\lim_{x\to -\infty}f(x) = -1$ и $\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty$

Сега хващаме производната: $f'(x) = \ln(7).7^x - \ln(6).6^x$

Решавайки уравнението $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \log_{\frac{7}{6}}\Big(log_76\Big)$ получаваме кандидат за екстремум. С малко въображение и проба-грешка, ако трябва, (ще оставя на теб ) установяваме, че това е глобален минимум. Означаваме го като $x_{min} := \log_{\frac{7}{6}}\Big(log_76\Big)$

Интересува ни предимно, че $x_{min} < 0$, от което следва, че $7^x - 6^x < 0 \Rightarrow f(x_{min}) = 7^x - 6^x - 1 < -1 < 0$.

1) Понеже пресметнахме $\lim_{x\to -\infty}f(x) = -1$ и видяхме, че $f(x_{min}) < -1$, то значи 'наляво' от $x_{min}$ функцията ще нараства $(*)$, но ограничено (до -1), така че няма да мине нулата и решения нямаме;
2) Аналогично, понеже $\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty$, значи 'надясно' от $x_{min}$ функцията ще нараства безкрайно. И понеже има само един глобален минимум и сме изключили инфлексни точки, то тя ще нараства строго и монотонно, което означава, че ще пресече нулата веднъж и ще е строго положителна оттам нататък.

Това заключение вече ни дава свободата да обявим решенията: $f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \in [x_0, +\infty)$, където $x_0$ е (доказано) единственото решение на уравнението $f(x) = 0$.

Правим бързата сметка: $f(x) = 7^x - 6^x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = x_0 = 1$, заместваме и получаваме отговора: $x \in [1, +\infty)$.

$(*)$: На правилен аналитичен език, реално ще "намалява до $x_{min}$, но идеята ми беше ако пуснем $x$ да се търкаля от $x_{min}$ в посока 'наляво' към $-\infty$, тогава един вид $f(x)$ ще "катери нагорнище"

След като се начете на сухи анализи, ето ти и малко онаглеждение: КЛИК ЗА ЯКА ГРАФИКА