Ирационално неравенство

[Гост]

[tex]x^{2}+x \sqrt{3-3 x^{2} }-x- \frac{1}{2} \ge 0[/tex]

[Davids]

Нещо не ми се струват хубави (или "ученически" ) отговорите, на какво ниво е поставен проблемът? Нумерика, диференциране и пр. позволени ли са или търсим тертипско решение?

[Knowledge Greedy]

Ясно е, че задачата си е за 12. клас.

След полагане [tex]x=sint \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{1-x^2}=cost[/tex]
и неравенството добива вида
[tex]sin^2t+\frac{ \sqrt{3} }{2} 2sintcost \ge sint+\frac{1}{2}[/tex]
След понижаване на степента на първото събираемо, унищожаване на [tex]\frac{1}{2}[/tex] отляво и отдясно, и преминаване към аргумент [tex]2t[/tex] получаваме
[tex]-\frac{1}{2}cos2t+\frac{ \sqrt{3} }{2} sin2t \ge sint[/tex]

[tex]sin \left ( 2t-\frac{ \pi }{6} \right )\ge sint[/tex]
Получават се две групи решения
[tex]t \in \left [ \frac{\pi}{6}+2k \pi; \frac{7\pi}{18}+2k\pi \right ][/tex]
и
[tex]t \in \left [ \frac{19\pi}{18}+2k \pi; \frac{31\pi}{18}+2k\pi \right ][/tex]
Връщането към първоначалното неизвестно обаче, както отбелязва Davids, не е много приятно.

[tex]\frac{1}{2} \le x \le sin \frac{7 \pi }{18}[/tex]
и
[tex]-sin \frac{5 \pi }{18} \le x \le - sin \frac{ \pi }{18}[/tex]

[Гост]

не трябва ли [tex]\sqrt{1- x^{2}}=|\cos t|[/tex]

[Гост]

може, ама тогаз [tex]t \in \left[- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}\right][/tex]