logaritmichno neravenstvo

[Гост]

[tex]\frac{log_{4 }(2-x)- log_{14 }(2-x) }{ log_{14 }x- log_{49 }x } \le log_{4 } 49[/tex]

[S.B.]

[tex]\frac{log_{4 }(2-x)- log_{14 }(2-x) }{ log_{14 }x- log_{49 }x } \le log_{4 } 49[/tex]

$$\frac{ \log_{4 }(2 - x) - \log_{14 }(2 - x) }{ \log_{14 } x - \log_{49 }x } \le \log_{4 }49$$

Д.М. : От [tex]\begin{cases} x > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < 2 \end{cases} \Rightarrow x \in (0,2)[/tex]

Ще премина към основа $7$, като за по-голяма яснота ще обработя самостоятелно числителя,знаменателя и дясната страна на неравенството

1) Числител

[tex]\log_{4 }(2 - x) - log_{14 }(2 - x) = \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 } 2^{2} } - \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 }(2.7) } = \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{2 \log_{7 }2 } - \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 }2 + log_{7 }7 }[/tex]

[tex]\log_{7 }2 \approx 0,356 = const[/tex] За удобство полагам [tex]\log_{7 }2 = c > 0[/tex]

Тогава:
[tex]\frac{ \log_{7 }(2 - x) }{2 \log_{7 }2 } - \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 }2 + \log_{7 }7 } \Leftrightarrow \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{2c} - \frac{\log_{7 }(2 - x) }{c + 1} = \frac{1}{2c} \log_{7 }(2 - x) - \frac{1}{c + 1} \log_{7 }(2 - x) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\log_{7 } (2 - x)^{ \frac{1}{2c} } - \log_{7 } (2 - x)^{ \frac{1}{c + 1} } = \log_{7 }\displaystyle \frac{ (2 - x)^{ \frac{1}{2c} } }{ (2 - x)^{ \frac{1}{c + 1} } } = \log_{7 } (2 - x)^{ \frac{1 - c}{2c(c + 1)} } = \displaystyle\frac{1 - c}{2c(c + 1)} \log_{7 }(2 - x)[/tex]
За числителя получавам:
$$\log_{4 }(2 - x) - \log_{14 }(2 - x) = \frac{1 - c}{2c(c + 1)} \log_{7 }(2 - x)$$

2) Знаменател
[tex]\log_{14 }x - \log_{49 }x = \frac{ \log_{7 }x }{ \log_{7 }(2.7) } - \frac{ \log_{7 }x }{ \log_{7 } 7^{2} }= \frac{ \log_{7 }x }{ \log_{7 } 2 + 1} - \frac{ \log_{7 }x }{2} = \frac{ \log_{7 }x }{c + 1} - \frac{ \log_{7 }x }{2} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{1}{c + 1} \log_{7 }x - \displaystyle\frac{1}{2} \log_{7 }x = \log_{7 } x^{ \frac{1}{c + 1} } - \log_{7 } x^{ \frac{1}{2} } = \log_{7 }\displaystyle \frac{ x^{ \frac{1}{c + 1} } }{ x^{ \frac{1}{2} } } = \log_{7 } x^{ \frac{1 - c}{2(c + 1)} } = \displaystyle\frac{1 - c}{2(c + 1)} \log_{7 }x[/tex]

За знаменателя получавам:
$$\log_{14 }x - \log_{49 }x = \frac{1 - c}{2(c + 1)} \log_{7}x $$

3) Дясната страна :
[tex]\log_{4 }49 = \frac{ \log_{7 } 7^{2} }{ \log_{7 } 2^{2} } = \frac{2 \log_{7 } 7}{2 \log_{7 } 2} = \frac{2}{2c} = \frac{1}{c}[/tex]
$$\log_{4 }49 = \frac{1}{c} $$

След заместване с еквивалентните изрази получавам неравенството:
[tex]\displaystyle\frac{\displaystyle \frac{1 - c}{2c(1 + c)}. \log_{7 }(2 - x) }{\displaystyle \frac{1 - c}{2(c + 1)}. \log_{7 }x } \le \displaystyle \frac{1}{c} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}.\displaystyle \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 }x } \le \displaystyle\frac{1}{c}[/tex]
Умножавам двете страни с $c >0$ и получавам:
[tex]\frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 }x } \le 1 \Leftrightarrow \log_{7 }(2 - x) \le \log_{7 }x \Leftrightarrow 2 - x \le x \Rightarrow x \ge 1[/tex]
От [tex]\begin{cases}Д.М.: x \in (0 , 2)\\ x \ge 1\end{cases} \Rightarrow x \in [1 , 2)[/tex]

[Davids]

Супер решение, само с някои неточности (според мен), които поднасям с уважение:

- ДМ: $x\in(0, 2)\backslash\{1\}$

- Съвсем на последния ред, където е направен извода за решението, смятам, че е редно да подходим така (за улеснение преминаваме към $\ln$):

$\frac{\log_7(2-x)}{\log_7x} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \le 1$

Разглеждаме 2 случая (защото влияят на посоката):
I) $x \in (0, 1) \Rightarrow \ln x < 0$
$\Longrightarrow \ln(2-x) \ge \ln x \Rightarrow 2-x \ge x \Rightarrow x \le 1$, но $x\ne 1$, значи оставаме с решение $x\in(0, 1)$

II) $x\in (1, 2) \Rightarrow 0 < \ln x < 1$
$\Longrightarrow \ln(2-x) \le \ln x \Rightarrow 2-x \le x \Rightarrow x\ge 1$, но отново $x\ne 1$, значи отново оставаме в $x\in(1, 2)$.

И така всъщност се оказва, че цялото ДМ е решение: $\boxed{x\in(0, 2)\backslash\{1\}}$

Скрит текст: покажи

И последно, не се сдържах да не отбележа просто, че ограденото всъщност не беше нужно (по недоглеждане, разбира се, но просто е забавно - може да се групира директно)

[tex]\frac{ \log_{7 }(2 - x) }{2 \log_{7 }2 } - \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{ \log_{7 }2 + \log_{7 }7 } \Leftrightarrow \frac{ \log_{7 }(2 - x) }{2c} - \frac{\log_{7 }(2 - x) }{c + 1} = \frac{1}{2c} \log_{7 }(2 - x) - \frac{1}{c + 1} \log_{7 }(2 - x) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\boxed{\sout{\log_{7 } (2 - x)^{ \frac{1}{2c} } - \log_{7 } (2 - x)^{ \frac{1}{c + 1} } = \log_{7 }\displaystyle \frac{ (2 - x)^{ \frac{1}{2c} } }{ (2 - x)^{ \frac{1}{c + 1} } } = \log_{7 } (2 - x)^{ \frac{1 - c}{2c(c + 1)} }}}~~= \displaystyle\frac{1 - c}{2c(c + 1)} \log_{7 }(2 - x)[/tex]

А иначе замисълът на завъртяната задача и според мен е точно този, така че все пак я водим разгадана. Адмирации!

П. П. За да не съм само косурлия, предлагам и алтернативен начин да сведем до последния етап. Лявата страна ще кръстим $f(x)$ и така:

$f(x) = \frac{log_{4 }(2-x)- log_{14 }(2-x) }{ log_{14 }x- log_{49 }x } = \frac{\frac{ln(2-x)}{ln4}- \frac{ln(2-x)}{ln14} }{ \frac{lnx}{ln14}- \frac{lnx}{ln49}} = \frac{ln(2-x)}{lnx}\cdot\left[\frac{\frac{1}{ln4} - \frac{1}{ln14}}{\frac{1}{ln14} - \frac{1}{ln49}}\right] = \frac{ln(2-x)}{lnx}\cdot\frac{(ln14-ln4)\cancel{ln14}ln49}{(ln49-ln14)ln4\cancel{ln14}} = \frac{ln(2-x)}{lnx}\cdot\frac{\cancel{ln\frac{7}{2}}ln49}{\cancel{ln\frac{7}{2}}ln4} = \log_27\cdot\frac{ln(2-x)}{lnx}\cdot$

И така вече нататък по горната схема неравенството се свежда до $f(x) \le \log_27 \Longleftrightarrow \frac{ln(2-x)}{lnx}\cdot \le 1$

[S.B.]

Прав си Davids!